I.X -t- MY + INZ = o

équation nécessaire pour qu’il n'y ait pas incompatibilité.

et par suite pour qu'il y ait ufte résultante. Les trois équations se réduisent donc à deux quelconques d’entre elles, et Comme elles sont du premier degré par rapport à x,. jr t , z, , 1 elles déterminent une ligne droite. Le système peut donc être remplacé par une force dont les composantes sont X, Y, Z, cl appliquée en un point quelconque de cette droite qui, par conséquent, ne peut être autre chose que la direction même de la résultante. C’est ce qu’on reconnaît d’ailleurs d'après ses équations, qui montrent qu’elle est parallèle à la résultante des forces X , Y, Z.

61 . Lorsque 'l’équation précédente n'est pas satisfaite, le système n’a pas de résultante, mais il peut être réduit à deux forces non situées dans un même plan. En effet, il peut être remplacé par un couple et une force non parallèle au plan du couple; et l’on peut toujours faire en sorte que cette force rencontre l’une de celles qui forment le couple : il suffit de transporter convenablement ce dernier. Or, si l’on compose ces deux forces appliquées au même point, et dont l’une n’est pas comprise dans le plan du couple, elles donneront une résultante qui ne sera pas située dans ce plan. Le système sera donc réduit à deux forces non situées dans un même plan. •

Une construction inverse ferait voir réciproquement que deux forces non dans un même plan peuvent être remplacées par un couple et une force non parallèle à son plan , et que par conséquent elles n’ont pas de résultante. O 11 peut encore démontrer très-simplement cette dernière proposition, sans s’appuyer sur la théorie des couples. En effet, si deux forces , non dans un même plan, avaient une résultante, il y aurait équilibre en introduisant une force égale et contraire. Cet équilibre ne serait pas dérangé en liant les points du système à une droite fixe, et choisie de manière qu elle rencontrât la direction de la force introduite et de l’une des proposées . sans rencontrer l’autre ; ce qui est pos-

PHEMIÈUE ANNÉE. — STATIQUE. 55

sible d’une infinité (le manières. Mais alors deux des forces étant détruites, il faudrait que la troisième le fut; ce qui n'est pas, puisqu’elle ne rencontre pas l'axe. Donc les deux forces n’avaient pas de résultante.

Résultante de forces dans un meme plan.

62. Si toutes les forces sont dans un même plan , on prendra les axes des x et des y dans ce plan ; les composantes et les coordonnées parallèles à l’axe des z seront nulles ; on aura donc Z = o, L = o, M = o, et la résultante sera déterminée par les équations

x,= x, y,= y, Yt,-x/, = n.

Les deux premières déterminent la grandeur et la direction de cette force; la troisième est celle d’une droite dont tout point peut être considéré comme le point d’application de la résultante : c’est donc l’équation même de la résultante.

Elle deviendrait impossible si l’on avait X = o , Y = o, sans avoir N = o; ce qui s’accorde avec la remarque générale faite précédemment : les forces se réduisent alors à un couple. Toutes les fois que l’on n’a pas X = o , Y = o , la résultante existe sans autre condition, et l’on peut remarquer que la condition générale exprimée par l'équation

LX + MY -4- NZ = o est satisfaite, puisque I on a

63. La troisième équation, qui détermine la résultante, ■ ' peut être mise sous une autre forme, en introduisant, comme précédemment, les moments des forces par rapport à l’origine.

Soient R l'intensité de la résultante, et Hr son moment

56 COURS f>E MECAMyUK.

positif ou négatif; la force opposée à II aura pour moment — Rr, et l’équilibre sera exprimé par les trois équations

X, = X, Y, = Y, -Rr+il>=o;

d’où

Rr = ll'/j.

La troisième apprend que le moment de la résultante par rapporta un point quelconque du plan est égal à la somme algébrique de ceux des composantes ; mais elle deviendrait impossible si R était nulle sans que l’on eût ZPp = o : il n’y aurait donc pas alors de résultante. Et, en effet, on voit que, dans ce cas, les forces données sc réduisent à un couple; dans tout autre cas. on obtient une valeur de r qui satisfait à la troisième équation. Il existe donc une résultante dont on connaît la valeur, la direction ,la distance à l’origine ; de plus, le sens dans lequel elle tend à faire tourner autour de ce point est connu par le signe du moment R /•; la résultante est donc entièrement déterminée.

(>i. Il est bon de remarquer que l’on a , pour une force

quelconque. xY — yX = 0 désignant l’angledes axes.

En effet, une force P peut être remplacée par une force égale et parallèle appliquée à l’origine, plus le couple P/;; cl elle peut aussi être remplacée par les deux forces X, ^ appliquées à l’origine , plus deux couples dont les moments sont xY sinG et — X sinO. Les deux forces X et Y se composent en la force P, appliquée à l'origine : il est donc nécessaire que les deux couples se réduisent au premier ; d’où l’on conclut

x Y sin 0 — y X sin 0 = P/j ,

sinft

PhtMlèlK AMÎi^r. — STATIQUE. 57

cl l’on voit clairement comment les équations ï ( x Y — .y X ) = o et i Yp — o

peuvent se remplacer l’une l’autre.

Si les axes sont rectangulaires , l’équation précédente devient

x Y — /X = P (x cos 6 — y cos a ) — Yp ou

x cos 6 — y cos * = p.

Remarques sur la réduction d'un système de forces.

60. Nous avons démontré qu un système de forces appliquées à des points liés invariablement entre eux, mais libres dans l’espace, pouvait toujours être réduit à une force unique et un couple; cette force est la résultante de toutes celles du système, transportées parallèlement à ellesmêmes en un point choisi arbitrairement, et que nous nommerons Yorigine. Elle est donc toujours la même en grandeur et en direction; son point d’application peut seul changer : il est entièrement arbitraire. Quant au couple résultant, il dépend du point où l’on a transporté toutes les forces. Si on le décompose en deux autres, dont l’un ail son axe dans une direction donnée et l’autre dans une direction quelconque perpendiculaire, le premier est égal, comme nous l’avons démontré n° 57 , à la somme des moments de toutes les forces par rapport à la droite menée par l’origine suivant la direction donnée. Nous allons faire quelques remarques importantes sur les moments relatifs aux droites qui passent par un même point, et sur les changements qu ils éprouvent quand ce point se déplace. Nous les avons reportés à la fin de Ju Statique, afin de ne pas entraver la marche du cours. (le que nous allons dire est

COURS UK NKC&K1Q0E.

extrait de l'ancien Mémoire do M. Poinsot, sur la composilion des moments.

6(5. Moments par rapport aux différents axes qui passent par un même point. — La somme des moments clc forces quelconques par rapport à un axe s’obtient, comme nous l’avons vu, en projetant sur cet axe les trois sommes relatives aux axes coordonnés rectangulaires qui passent en ce point, ou plus simplement, en projetant le moment résultant ou celui du couple résultant sur ce même axe. Ainsi, quand on aura déterminé en direction et en grandeur l’axe du couple résultant relatif à une certaine origiue, il suf*» lira de le projeter sur une droite quelconque passant par ce point, pour obtenir la somme des moments des forces par rapport à celte droite. D'où résultent les propositions suivantes :

Si l ’on considère les sommes des moments d'un système quelconque de forces par rapport à toutes les droites qui passent par un même point , ta somme maximum sera celle qui correspondra à l’axe du couple résultant relatif à ce point pris pour origine.

. La somme des moments sera la même pour toutes les droites qui feront le même angle avec l’axe du couple résultant. Elle sera nulle pour toutes les droites perpendiculaires à cet axe.

67. Comparaison des moments maxima relatifs à dif- , fêtent s points. — Soient A ( ftg . 20 ) une origine quelconque, AR la résultante des forces transportées en ce point, et AiM la direction et la grandeur de l’axe du couple résultant correspondant. Pour obtenir le couple résultant relatif à une autre origine quelconque, il suilirait de composer avec le premier un nouveau couple formé de la force R et d’une force R' parallèle et contraire menée par A'; d’où l’on conclut d’abord que si A' est sur la droite AR , ce dernier couple est nul , et le couple résultant

PREMIÈRE A N Mb. — STATIQUE. 5(J

est le même qu’au point A. On a donc celle première proposition :

Le coupla résultant est le meme en grandeur et en direction pour tous les points d’une même droite quelconque parallèle à la résultante.

En d’autres termes : Pour tous les points d’une même droite parallèle à la résultante , les axes de moment maximum sont parallèles , et ce moment a la même valeur.

Supposons maintenant que le point A' ne soit pas sur la direction AR de la résultante relative au point A, le couple qu’il faudra composer avec AM aura son axe perpendiculaire au plan RAA', et, par conséquent, à la droite AR. Si l’on fait mouvoir le point A', cet axe pourra prendre toutes les directions dans le plan perpendiculaire à AR ; aucune ne sera celle de AM si l’angle S n’est pas droit, e’est-à-dire si le système des forces n’a pas de résultante unique : ainsi, en exceptant ce cas particulier, la direction de l’axe du couple résultant sera différente de AM si A' n’est pas sur AR. Les directions diverses de l’axe du couple RR' feront avec AM, les unes un angle aigu, les autres un angle obtus, si AM et AR n’ont pas la même direction. Les axes qui feront un angle aigu avec AM donneront un couple résultant plus grand que AM; ceux qui feront un angle obtus pourront donner un couple résultant plus grand ou plus petit que AM, suivant la grandeur du moment du couple R , R' qui peut varier de zéro à l’infini, en changeant la distance de A 'h AR. D’où l’on voit que le moment maximum relatif au point A , comparé à ceux qui correspondent aux divers axes passant par A', sera plus petit que les uns et plus grand que les autres, si les directions AM, AR sont différentes; mais si elles se confondent, les deux couples à composer auront tou jours leurs axes perpendiculaires entre eux , et , par con-

COURS DK MECANIQUE.

séqucnt, donneroni un couple résultant plus grand que AM. D'où résulte cette proposition :

Le point de l'espace pour lequel le moment du couple résultant est le plus petit, est celui pour lequel la direction de l'axe de ce couple se confond arec celle de la résultante.

Et, d’après ce qui vient d’être établi tout à l’heure, si l’on trouve un point jouissant de cette propriété, tous les points de la parallèle à la résultante menée par ce point en jouiront de même; et tous les axes des couples résultants, ou, en d’autres termes, les axes pour lesquels la somme des moments des forces est maximum, considérés pour tous les points de cette droite, se confondent, puisqu’ils sont parallèles à celle droite même; de sorte qu’il n’existe dans l’espace qu’un seul axe tel, que la somme des moments des forces par rapport à lui soit plus grande que par rapport à toute autre droite menée par un de scs points, et en même temps soit moindre que la somme maximum, relative à tout point situé en dehors de lui. C’est à cet axe que M. Poiusot donne le nom d'axe central des moments.

68. Détermination de l'axe central. — Pour obtenir l’axe central, il faut choisir le point A', de telle sorte que la perpendiculaire au plan RAA', ou l’axe du couple RR', soit dans le plan MAR. Il suffira , pour cela , de prendre A' dans le plan mené par Ail perpendiculairement au plan MAR , cl du côté de AR , pour lequel le sens du couple donnera à l’axe la direction AN et non la direction opposée, parce qu’il faut que AR soit dans l’angle des directions des deux axes composants. Cela posé, il suffira de prendre le point A' à une distance de AR telle, que le moment du couple soit égal au côté Mil du parallélogramme MRAN. Si donc ou désigne par Ci le moment du premier couple résultant AM; par K celui du nouveau couple résultant; par p

VREMIKI1E ANNÉE. — STATIQUE. Ül

la dislaucc île A' à Ail ; par Ô l’angle MAR , le moment du couple RR' sera R p, et l’on aura

LX MY -f- NZ cos 0 = — — ,

K = G cos 0 =

JNZ

Rj> = G sin 0.

Le point A' est ainsi déterminé autant qu’il doit l’être; ce sera l’un quelconque de ceux de la parallèle à AR menée à

la distance— de AR , dans le plan perpendiculaire au

plan MAR conduit suivant AR. et du côté de AR que nous avons indiqué. Si l’on veut prendre en particulier le point situé sur la perpendiculaire au plan MAR mené par A, scs coordonnées a, c se détermineront par les équations suivantes, en prenant le point A pour origine :

«• -t- lr -+■ c’

G 1 sin’ 6 R*" ’

«X h Y -+- cZ = o , «L + + cN = o.

Les deux dernières exprimcnlquc ladroitc AA'esl perpendiculaire sur la résultante, dont les composantes sont X, Y, Z, cl sur l’axe du couple résultant, dont les axes composants sont L, M, N. La première exprime que la longueur AA' est égale à p. Ces trois équations donnent deux points dont les coordonnées sont égales et de signes contraires; mais un 'seul devra être choisi : c’est celui qui donne au couple RR' le sens que nous avons indiqué précédemment.

Le point A' étant ainsi déterminé, la parallèle à la résultante menée par ce point sera Y axe central, et, nous le répétons, la direction de cet axe est, pour un quelconque de ses points, celle de l’axe du moment maximum; et ce moment est moindre que le maximum correspondant «à tout autre point de l’espace.

6a cours uk MÉcASiyue.

09. Disposition de tous les axes autour de l'axe central. — Concevons un plan quelconque perpendiculaire à l’axe central; ce que nous dirons de tous les points de ce plan s’appliquerait identiquement à ceux de tout autre plan parallèle, et, par conséquent, à tous ceux de l’espace.

Soient AR (Jîg. ai) cet axe, et A' un point quelconque • du plan perpendiculaire mené par A. En prenant ce nouveau point pour origine, il faudra composer le couple résultant dont l’a'xe est AM en direction et en grandeur, avec le couple situé dans le plan RAA', avant pour moment R 71 , p désignant la longueur AA'. L’axe du couple résultant sera, en direction et en grandeur, la diagonale AR du rectangle construit sur AM et la ligne AN égale à R/» et perpendiculaire au plan RAA'. Désignons par ç l’angle de l’axe résultant avec l’axe central, et par II le moment résultant; on aura

tang ? = -vp lt'=Ry + G’.

Les valeurs de K et s ne dépendant que de p, il s’ensuit que pour tous les points d’une même circonférence décrite du centre A dans le plan perpendiculaire à AR, les moments maxima sont égaux et leurs axes forment un liypcrboloïde de révolution autour de l’axe central, dont la circonférence que l’on considère forme le cercle de gorge, et le demi-axe imaginaire de l'hyperbole génératrice a pour

valeur - ■ Si l’on prend p comme abscisse, et le moment

correspondant K comme ordonnée , ou construira, d’apres l'équation ci-dessus, une hyperbole dont l’axe réel sera dirigé suivant AR et aura pour saleur aG. Son deini-axé ima-

giuaire sera - comme pour l’autre hyperbole.

Ainsi, l’axe central jouit de la propriété, que pour tous les points d’une surface cylindrique quelconque dont il est

F&EMIfettK ANNÉE. — STATIQUE. 03

l’axe, le moment maximum a la même v aïeul' ; l’axe de ce moment a la même direction pour tous les points d’une même arête de ce cylindre ; il change de direction en passant d’une arête à une autre, en conservant la même inclinaison sur l’axe et la même distance. La valeur du moment maximum augmente indéfiniment avec la distance de l’origine à l’axe central ; et l’angle de son axe avec l’axe central a pour limite l’angle droit.

70. Cas où le système ries forces a une résultante. — Si l’on prend pour origine un point quelconque de celte résultante, le couple correspondant sera nul, et, par conséquent, celte droite sera l’axe central lui-même. Les formules précédentes donnent, en effet, p = o quand on suppose G = o. Si maintenant on prend une origine quelconque en dehors de la résultante unique, on aura un couple résultant dont le plan sera celui qui passera par l’axe central et la nouvelle origine. Ainsi, dans ce cas particulier, tous les points d’un même plan quelconque passant par la résultante unique donnent des couples résultants , dont les axes sont parallèles.

Mais les moments de ces couples ne sont pas égaux ; ils sont proportionnels à la distance de l’origine qui leur correspond à la résultante générale. Ils n’ont donc la même valeur que pour les points situés sur deux parallèles équidistantes de cette résultante, et, de plus, le sens de ces couples n’est le même que pour les points d’une même parallèle.

Cas où la résultante est nulle. — Si la résultante est nulle, le changement d'origine n’introduit aucun nouveau couple, et, par conséquent, le couple résultant a toujours le même moment, et son plan la même direction, quelleque soit l’origine où l’on transporte les forces.

64 COURS UK SIKCANUJUE.