PREMIERE A X N X K
STATIQUE
Soit dot»' ds un clément quelconque; il nu cessera pas d être en équilibre si l'on rend sa figure invariable. Or, les forces qui le sollicitent sont les tensions exercées à ses extrémités, qui sont dirigées respectivement suivant les tangentes en ces points et en sens inverse, et de plus les forces
XJt,.Yds,LSs.
La tension T, variant d’une manière continue en même temps que l’are s de la courbe, en est une fonction continue, ainsi que les cosinus ~ ^ des angles que fait la
1 • fis ils as *
tangente avec les axes. Les composantes de la tension considérée dans le sens où s augmente sont donc, aux deux extrémités de l’arc ds ,
Supposons les arcs s comptés à partir de l’extrémité A (,/ig- 28), et soit \1 \ l'arc infiniment petit ds. Les directions des deux forces tangentes aux points M et N . se rencontrent si la courbe est plane, et elles peuvent être considérées comme se rencontrant même dans le cas d’une courbe à double courbure, parce que leur plus courte distance est infiniment petite par rapport à ds. Elles ont donc une résultante-, et par conséquent les forces qui agissent en tous les points de MN doivent avoir une résultante égale et opposée à la première, et, par suite, comprise dans le plan oscillateur de la courbe. Les conditions cherchées de 1 équilibre sont donc celles de forces appliquées à uu même point , et elles doivent exprimer que les sommes des composantes parallèles à chaque axe sont séparément nulles. Si donc 011
COURS DE MhCAMQUK.
observe que les composantes Tji T T ~ doiveul èlre changées de signe, on aura les équations suivantes :
dx\
) -+- \ds - o,
Y iti
Si l’on multiplie la première par '—■> la seconde par ■> la
troisième par ^ > et qu’ou les ajoute, en observant que l’on a
GHîHî)--
cl , par suite,
dx dx dy d\ dz dz
lü''lü+Tt d ds + d' A 7u-°'
on obtiendra
dl -+- Xrfr +ïrf/ + Z(/2 = o ,
équation qui pourra remplacer une quelconque des équations (1).
Dans le cas le plus ordinaire, X dx -h Y dy -+- Zdz est la différentielle d’une fonction <p (a:, y, z) , et l’on aura alors
et si l’on connaît la tension T' au point dont les coordonnées sont x\ y z', on aura
de sorte que I on connaîtra la tension en tout autre point,
PREMIÈRE ANXKK.
en fonction de scs coordonnées-, et dans tous les cas, la différence des tensions inconnues qui ont lieu en deux points du fil ne dépendra que des coordonnées de ces points. La valeur de T étant substituée dans deux des équations (i) , on aura les équations de la courbe formée par le fil.
86. Fil sollicité par des forces normales. — Si la force dont les composantes sont X, Y, Z était normale en tous les points de la courbe, on aurait
X <lx -f- Y djr -+- Z dz = o ;
ip (&,y, z) serait constant , et, par suite, T ; dans ce cas, le fil est donc également tendu en tous scs points. C’est ce qui aura lieu par exemple lorsqu’il sera tendu sur une surface qui ne produira aucun frottement.
La tension T étant constante, les équations (i) deviennent
iix dy dz
Td.~- = — Xds, Trf.-f- = — Yds t Td. y- = — Zds f ds rfs as
d’où
X’4- Y’-t- Z’) ds‘.
ou, en désignant par P la force, et par R le rayon de courbure,
T’zsP’R 1 , d’où P=J- K
Ainsi, quelle que soit la force normale, le fil prendra une figure telle, que cette force soit en raison inverse du rayon de courbure.
D’où il suit que si la force est constante et que la courbe soit plane, elle formera un arc de cercle.
Si la force normale est la résistance d’une surface , comme elle doit toujours être comprise dans le plan osculateur de la courbe, ce dernier est normal à cette surface, et la courbe
^8 COURS 1>K MRCaNUJUK.
est celle de longueur minimum, entre deux quelconque» de ses points.
87. On peut trouver, par des considérations géométriques très-simples, la valeur de la pression exercée sur la surface. Pour eela , considérons la courbe que forme le fil , comme un polygone d'une infinité de côtés égaux entre eux; la résultante des tensions de deux côtés consécutifs A lî, BC sera dirigée suivant la ligne BD qui divise l’angle ABC en deux parties égales, et son intensité sera .
BC
2TcosCBD, on îT— ■!
la ligne CD étant menée perpendiculairement à BC (Jîg. 29). Si l’on représente par R le rayon du cercle qui passe par les trois points A. B, C, et qui n’est autre chose, à la limite, que le cercle oscillateur de la courbe, la près-
RO
sion sur la surface* sera mesurée par T Lorsque BC
tend vers zéro, la pression tend elle-même vers zéro; mais si l’on considère une longueur extrêmement petite a sur le fil, les normales pourront être considérées comme parallèles, elles pressions comme égales, ainsi que les rayons île courbure, en tous les sommets du polygone infinitésimal qui y seront compris: la somme de ces pressions sera donc
Ta
toujours sensiblement égale à — » Il étant le rayon de cour-
bure en un quelconque des points de l'arc a. Ainsi, la valeur de la pression normale produite par le fil sur la surface, dans une étendue infiniment petite ils, est exprimée
T <ls „ . , .. . . .
par et I on voit (pi elle est en raison inverse du rayon
de courbure au point que l'on considère.
PR RM I RB Y. ANN EF.
STATHJUK.
