CHAPITRE VIII

PRINCIPE DES VITESSES VIRTI’EI.l ES.

88. Les conditions de l’équilibre d’un système quelconque de points ou de corps solides , assujettis à des liaisons arbitraires et soumis à l’action de forces quelconques, peuvent s’exprimer par une seule formule générale, d’une grande ■ importance dans la théorie de l’équilibre et du mouvement.

L’avantage de cette formule, lorsqu’elle sera rigoureusement établie, consistera principalement en ce que les équations particulières de l'équilibre de tout système donné s’en déduiront par des procédés réguliers de calcul ; et que l’oU pourra, en quelque sorte, considérer la science de l’équilibre de tous ies systèmes de points, comme y étant renfermée tout entière. Nous commencerons par faire connaître quelques dénominations généralement adoptées.

Lorsque l’on considère un système quelconque de points dans une première position, et que l’on suppose ensuite que chacun d’eux soit placé dans uni: position infiniment "voisine de celle qu il occupait, sans cesser de satisfaire à toutes les conditions qui dépendent de la nature du système, on nomme vitesse virtuelle d’un quelconque de ces points la droite qui joint sa première position à la seconde. Cette dénomination vient de ce que l'on peut concevoir que ce déplacement se fasse avec uniformité dans un même temps infiniment petit , et qu’ alors les espaces parcourus sont proportionnels aux vitesses; et en outre de ce que ce déplacement n’est que possible et ne s'effectue réellement pas.

La vitesse virtuelle d’un point, estimée suivant une direction déterminée , est la projection de cette vitesse sur cette direction; elle est regardée comme positive quand la direction du déplacement du point, en passant de sa pre-

Ho

COI' RS UK MKCANIQIlr..

mière position à la seconde, fait un angle aigu avec celle suivant laquelle on estime la vitesse ; elle est négative quand cet angle est obtus. De sorte qu’on obtient en grandeur et en signe, la vitesse d’un point estimée suivant une direction quelconque, en multipliant la grandeur absolue de cette vitesse par le cosinus de l'angle que sa direction fait avec celle suivant laquelle on l’estime.

On appelle moment virtuel d’une force, le produit de son intensité par la vitesse virtuelle de son point d’application., estimée suivant la direction de la force.

Cela posé, le principe des vitesses virtuelles consiste en ce que

Si un système quelconque de points est en équilibre , et que l’on conçoive un déplacement infiniment petit de tous ses points, qui soit compatible avec toutes les conditions auxquelles il est assujetti , la somme des moments virtuels de toutes les forces est nulle , quel que soit ce déplacement . Et réciproquement, si cette condition a lieu pour tous les déplacements virtuels , le système est en équilibre.

Dans cet énoncé, les infiniment petits sont considérés de la manière ordinaire. L’équation n’est exacte qu’en considérant les limites des rapports, après avoir divisé par l une quelconque des quantités infiniment petites; en d’autre termes, la somme des moments est infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes.

Avant de passer à la démonstration générale de ce principe , considérons quelques cas particuliers, et d’abord celui d’un point unique.

89. Cas d'un point unique. — L’équilibre d’un point entièrement libre exige que la somme des forces estimées suivant une direction arbitraire soit nulle; et réciproquement si cela est, il y a équilibre. Soient donc P l’une quelconque des forces appliquées à ce point, p l’angle qu'elle

WIRMIKRF ANNtK. — STATIQCF. 8l

forme avec une direction quelconque, oti devra avoir 2 P cos ^ = o ;

et réciproquement, si cette équation a lieu pour toute direction , le point sera en équilibre. Si l’on multiplie tous les termes par une quantité arbitraire ni , l’équation devient

Z P m cos fi — o.

Or m cos p est la projection de la grandeur m portée, à partir du point donné, sur la direction que l’on considère, et projetée sur la direction de la force P ; de plus , le point étant entièrement libre , m peut être considéré comme la distance de sa première position à une autre quelconque qu’il pourrait prendre; etenlasupposantinfinimcntpetite, elle sera ce que nous avons appelé la vitesse virtuelle de ce point. Ainsi ZPmcosp est la somme des moments virtuels des forces; donc, si le point est en équilibre, celte somme est nulle, et réciproquement; ce qu’il fallait démontrer. On peut observer que, dans ce cas, on peut prendre, au lieu de la vitesse virtuelle, une quantité finie quelconque; et, de plus , que la somme des moments virtuels est rigoureusement nulle , et non pas seulement égale à une quantité infiniment petite par rapport à ces moments eux-mèmes.

Dans le cas où le point n’est pas en équilibre, il suffirait, pour qu’il y fût, que l’on introduisit une force égale et opposée à la résultante. Or, la somme des moments serait alors nulle, et, de plus , deux forces égales et opposées, appliquées au même point, donnent évidemment des moments virtuels égaux et de signes contraires; donc le moment virtuel de la résultante est égal, en grandeur et en signe, à la somme des moments virtuels des composantes.

Dans cette relation, toutes les forces sont considérées en valeur absolue, et il est nécessaire d’examiner si elle se modifie lorsque les composantes sont susceptibles d’être

8a COURS UF MF.CVS1QUF.

affectées d’uu signe quelconque, connue lorsqu'il s'agit d’uue force P que l’on décompose en trois autres X , Y , Z, parallèles à des axes rectangulaires. Si d’abord on suppose ces trois forces positives, les variations ùx, ây, àz seront en grandeur et en signes les vitesses virtuelles de ces forces respectives, et l’on aura

P S p — Xa x ■+• Y S y -t- 7, S z.

Si maintenant une quelconque d’entre elles, Y par exemple, est négative, la valeur absolue de la force sera — Y, mais aussi la vitesse virtuelle sera — ây, et le moment virtuel sera toujours exprimé par Y oy ; de sorte que réquation précédente est générale en considérant de la manière ordinaire les signes des composantes, ainsi que des coordonnées : c’est d’ailleurs ce que l’on trouverait directement en projetant sur la résultante la ligne brisée formée par àx, dy, à z et la vitesse virtuelle.

Il est bon de remarquer que si les axes étaient obliques , \dx ne serait pas le moment virtuel de la force X, puisque âx ne serait pas la projection de la vitesse virtuelle du point sur la direction de X; il en serait de même des deux autres composantes, et l’équation précédente ne subsisterait plus.

90. Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe, nous savons qu’il est nécessaire et suffisant pour l’équilibre que la résultante soit normale à cette surf ace , et par conséquent que ZP cosfr soit nulle pour toutes les directions situées dans le plan tangent. On aurait donc encore, comme dans le cas précédent ,

S P ni cos fi — o -,

mais on ne pourrait plus regarder in comme la distance de deux positions possibles du point , puisque l'extrémité de la ligne m ne se trouve pas sur la surface.

PRKMIKHK WHtK, — STATIQUP.. * H3

Mais, si l’on prend sur la surface même un point situé à une distance infiniment petite ds du premier, la directiou de la droite qui les joint a pour limite celle d’une tangente quelconque à la surface, et par conséquent SP cos p est infiniment petit; donc SPds cosu est infiniment petit par rapport à os ; et par conséquent, dans le sens ordinaire où l’on entend les équations infinitésimales , on a

2 P S s COS fi = o.

Donc , dans ce nouveau cas d’équilibre, la somme des moments virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements infiniment petits, compatibles avec les conditions de la question ; et réciproquement.

91 . Si le point est assujetti à rester sur une courbe fixe , il est nécessaire et suffisant pour l’équilibre que la résultante soit normale à la courbe, et, par suite, que la somme des forces estimées dans le sens de la tangente soit égale à zéro. D'où l’on conclut, comme dans le cas précédent, qu’eu désignant par d s un arc infiniment petit de la courbe, on aura

2P<îf cosii = o,

en négligeant les infiniment petits du second ordre. Il est donc nécessaire et suffisant pour l’équilibre que la somme des moments virtuels des forces soit nulle pour tous les déplacements des points, compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti.

Si le point n’était que posé sur la surface ou sur la courbe, nous avons déjà dit qu’il serait nécessaire, mais non suffisant, que la résultante fût normale. Les conditions que nous venons d’indiquer auraient donc encore lieu , mais ne suffiraient plus.

92. Observons encore que, dans le cas d’équilibre d’un point posé sur une surface, la somme des moments virtuels ne serait plus nulle pour les déplacements d’un point sui-

84 COURS DK MÉCANIQUE.

vaut des droites inclinées au plan tangent, quoique ces déplacements soient compatibles avec les conditions de la question. Elle serait égale au moment de la résultante ; or, celui-ci est négatif, puisque la résultante doit appuyer le point sur la surface. D’où l’on conclut que, dans l’équilibre d’un point posé sur une surface, la somme des moments virtuels des forces est nulle quand le point se déplace sur la surface, et négative pour tous les autres déplacements qu’il peut subir.

93. Cas d’une droite rigide. — Examinons maintenant le cas de forces quelconques appliquées aux extrémités d'une droite inflexible; nous pourrons nous borner à considérer, à chacun de ces points, la résultante des forces qui y sont appliquées, puisque son moment virtuel est égal à la somme de ceux de ses composantes. Il faut donc démontrer que, dans le cas d’équilibre, la somme des moments virtuels de ces deux forces est nulle.

t°. Supposons la droite entièrement libre, et soient x , y, z , x', z' les coordonnées de ses extrémités M, M', et l sa longueur, on aura

d’où

(x— Sx’)+(y— y){iy— $/)+)* — *')(** — Sz’) = o,

ox , dy, dz, dx', dy', ds' étant les accroissements infiniment petits des coordonnées des deux extrémités, pour un déplacement virtuel quelconque.

Or, si l’on appelle a , S , y les angles formés avec les axes par la direction de la droite MM', on aura

cos a = — - — « cos 6 = — - — i cos 7 = — - — ;

l’équation précédente donne donc

o x cos x -t- 5 y eos6 Sz cosy = Sx' cosa -t- S y cos £ 3 z' cos y ;

c’est-à-dire que les vitesses virtuelles des extrémités, estimées suivant la direction MM', sont égales. Or, pour qu’il y ait équilibre, les deux forces doivent être égales et dirigées, l’une suivant M'M, l’autre suivant MM'; donc leurs moments virtuels sont égaux et de signes contraires , cl, par conséquent, donnent une somme nulle. F.t il en serait de même de la somme des moments virtuels de toutes les forces , puisque cette somme est la même que celle des moments des deux forces qui leur ont été substituées.

a°. Supposons maintenant que les extrémités M , M' soient assujetties à rester sur des surfaces ou des courbes données. 11 résultera de là de nouvelles forces qui seront normales à ces courbes ou à ces surfaces, en faisant abstraction du frottement. Enjoignant ces forces inconnues aux forces données , on pourra considérer la droite MM' comme entièrement libre; et , s’il y a équilibre, la somme des moments virtuels sera nulle pour des déplacements arbitraires de MM'. Mais, si l’on veut que, dans cette somijie, il n’entre que les forces données , il sera nécessaire et suffisant que le déplacement de chaque extrémité ail lieu sur la surface ou la courbe correspondante , pour que le moment virtuel de la force normale soit nul. D’où l’on conclut que Si les forces appliquées aux extrémités d'une 'droite sont en équilibre , et que ces extrémités soient assujetties à rester sur des surfaces ou des courbes fixes la somme des moments virtuels de ces forces est nulle pour tous les déplacements de la droite qui sont compatibles arec les conditions auxquelles elle est assujettie. *

La réciproque est vraie; mais, comme elle ne nous est pas nécessaire, nous ne la démontrerons pas ici ; elle se trouvera comprise dans celle qui se rapporte au cas général.

Di. Démonstration générale du principe. — Considérons un système de points assujettis à des conditions quelconques exprimées par des équations entre leurs coor»

86 cours DK MÉCANIQUE.

données, et sollicités par des forces quelconques. Le nombre des équations de condition devra être moindre que celui des coordonnées des points donnés, sans quoi ces points seraient fixes, et l’équilibre aurait lieu sans conditions entre les forces. Nous examinerons d’abord le cas où ces équations seront en nombre moindre d’une unité que celui des coordonnées des points du système. Il suffit alors de se donner la valeur d’une de ces coordonnées , pour que toutes les autres soient déterminées; tous les points sont donc assujettis à se mouvoir sur des courbes données , et d’une manière déterminée par le mouvement d'un seul.

Quelles que soient les liaisons réelles qui assujettissent ainsi les points donnés M, M 7 , M 77 , etc. , on peut les remplacer par d’autres quelconques qui permettraient identiquement les mêmes mouvements. Ainsi , ou peut supposer les points M et M 7 liés par deux droites de longueurs constantes MN, M 7 N, assujetties à se rencontrer sur une surface c^onnée; ce qui détermine la courbe que le point N peut décrire sur cette surface. On peut de même lier M 7 , M 77 pa r des droites rigides M 7 JV, M 77 N', et assujettir le point N 7 à rester sur une surface donnée ; on liera de même M" à un autre point du système, et ainsi de suite jusqu'à ce que l’on arrive au dernier point. Ces nouveaux points N , N 7 , N 77 , etc. , ne pourront avoir qu'une position unique pour chacune des positions successives que l’on ferait prendre au système des points donnés-, ils ne peuvent donc se mouvoir que sur des courbes complètement déterminées. Actuellement, faisons abstraction des liaisons données pour ne plus considérer que le système des premiers points assujettis à rester sur leurs courbes fixes , et des nouveaux points assujettis à rester sur les leurs, également fixées, et liés aux premières par les droites rigides qui ont été introduites. En vertu de ce nouveau mode de liaison, les points donnés sont assujettis identiquement aux mêmes

mouvements qu'ils pouvaient prendre en vertu des premières liaisons : on peut donc substituer ces nouvelles liaisons aux anciennes sans cliaugcr les conditions d’équilibre, et l'on aura à considérer un système de points M, N, M', N', M", N", etc. , liés par des droites rigides et astreints à se mouvoir sur des courbes données, auxquelles on pourra supposer une résistance normale indéfinie.

Soient P, P', P", etc., les résultantes des forces appliquées respectivement aux points M, M', M", etc. , dont les coordonnées sont jc, y, z , oc 1 z\ z", etc.

Appliquons aux extrémités de MN ( fi g. 3o) deux forces égales dirigées suivant cette droite dans des sens différents ,* et donnons-leur une intensité Q et un sens tels, que le point M soit en équilibre par l’action des forces P et Q et la résistance de la courbe donnée. Cela est toujours possible si la droite MN n’est pas perpendiculaire à celte courbe, et c’est une condition qu’on pourra toujours remplir. puisqu’on est maître de choisir, comme on veut, les longueurs MN, M'N. On peut de même admettre que M' N n’est pas normale à la courbe qu| contient M', et il s’ensuivra qu’aucune des deux lignes MN , M'N ne sera normale à la courbe que peut décrire le point N : car, si une droite de longueur constante sc déplace de manière que ses deux extrémités parcourent des arcs infiniment petits de même ordre, et que l’un de ces ares soit perpendiculaire à la droite donnée, l’autre le sera de même. Donc, puisque les droites MN, M'N ne sont pas perpendiculaires sur les courbes décrites par M et M', elles ne le seront pas non plus sur J a courbe décrite par N. Nous choisirons toutes les autres longueurs de telle manière, qu’aucune des droites rigides qui lient les points entre eux ne soit normale sur les courbes que ses extrémités peuvent décrire.

Appliquons de même, suivant NM', deux forces Q égales et contraires, et telles , que le point N suit en équi-

88 coi rs i>k .n tcAXiyur..

libre, par l’action des forces Q, Q'; applicptons ensuite, suivant M' N', des forces Q" égales et opposées, et telles, que le poinl M' soit en équilibre ; et continuons ainsi jusqu’au dernier point. Les conditions d’équilibre ne sont pas changées par l’introduction des forces qui se détruisent deux à deux, et tous les points sont en équilibre, excepté le dernier. La condition nécessaire et suffisante pour l’équilibre du système est donc celle de l’équilibre de ce point unique.

Pour employer des notations commodes, concevons sur le prolongement de la force P un point déterminé O, et représentons par p la distance OM. Faisons la même chose pour toutes les autres forces. Quand le point M se déplacera infiniment peu , sa distance au point fixe 0 variera d’une quantité qui pourra être considérée comme égale à la projection de sa vitesse virtuelle sur la direction de P. L’accroissement dp de la distance de M au point 0 sera positif si la vitesse virtuelle fait un angle aigu avec la direction de la force P; et négatif si cet angle est obtus: de sorte que dp, dp ', dp",..., dq, etc., sont les vitesses virtuelles des points d’application des forces P, P', P", . . . , Q, etc., estimées dans les directions de ces forces. Les conditions nécessaires et suffisantes d’équilibre, sur chacune des courbes et sur chacune des droites rigides, seront exprimées par les équations suivantes, eu observant que les moments virtuels des forces qui agissent en sens contraires sur chaque droite inflexible sont égaux et de signes contraires :

PJ/»4-Q$<7 = o,

— QSq + Q'3q'~o,

et il ne faut pas oublier que les vitesses virtuelles dp, dp', etc. , sont les mômes que si l’on avait conservé le premier mode de liaison , puisque dans le nouveau les mouvements possibles sont restés identiquement les mômes.

Le nombre de ces équations surpasse d'une unité celui des quantités Q, Q', Q", etc. La première détermine Q; substituant sa valeur dans la seconde, on aura Q', et en continuant ainsi , la dernière ne renfermera plus aucune des forces auxiliaires , et sera la condition nécessaire et suffisante pour l’équilibre du système. On l’obtient en ajoutant toutes les équations précédentes; les moments virtuels de chacune des forces auxiliaires Q, Q', etc., entrant chacun dans deux équations consécutives avec des signes contraires, se détruiront, et il restera

PSp + P 'Sp'+ P" dp" +.,.=0.

Donc , dans le cas que nous considérons, il est nécessaire et suffisant , pour l’équilibre du système, que la somme des moments virtuels des forces données soit nulle pour chacun des deux déplacements opposés, qui sont seuls possibles et qui donnent des moments égaux et de signes contraires.

9o. Il ne reste pins qu’à démontrer que, quel que soit le nombre d’équations qui lient les coordonnées des points du système, et, par conséquent, quel que soit le nombre des déplacements compatibles avec ces liaisons , il est nécessaire et suffisant, pour que des forces se fassent équilibre sur ce système , que la somme de leurs moments virtuels soit nulle pour tous ces déplacements infiniment petits.

En effet, considérons un quelconque de ces déplacements et établissons fle nouvelles liaisons qui n’en permettent pas d’autres, si ce n’est le déplacement contraire correspondant à des variations égales et de signes contraires des coordonnées; l’équilibre aura encore lieu s’il existait déjà, et, par conséquent, d’après ce qui précède, la somme

COURS DK MtCAJilQUK.

des moments virtuels correspondants à ce déplacement est nulle.

Réciproquement, si celte somme est nulle pour tout déplacement possible, il y aura équilibre. En-elfet, si les forces pouvaient mettre le système en mouvement, tous les points se mouvraient sur certaines courbes que l’on pourrait supposer fixes sans altérer en rien ce mouvement; et l’on pourrait, déplus, supposer des liaisons qui permettraient sur ces courbes le mouvement qui a lieu, mais de telle sorte que le mouvement d'un seul point entraînerait celui de tous les autres. On rentrerait encore dans le premier cas quant aux liaisons, et la somme des moments virtuels serait nulle sans qu’il y eût équilibre, ce qui est contraire à ce qui a été démontré précédemment.

Donc enfin ,

Quelles que soient les équations qui lient les coordonnées des points qui composent un système, auquel sont appliquées des forces quelconques , il est nécessaire et suffisant pour iérpiilibrc que la somme des moments virtuels de ces forces soit nulle pour tous les déplacements infiniment petits, compatibles avec les liaisons du système.

96. Dans ce qui précède, nous avons supposé que les courbes ne produisaient que des forces normales. Si elles pouvaient détruire des forces dirigées suivant la tangente, au moyen d'un obstacle au mouvement du point dans un sens sculement, l’équilibre pourrait avoir lieu sans que la somme des moments virtuels fût nulle; mais alors elle serait nécessairement négative. En effet, l'obstacle tient lieu d'une force dirigée du côté où le point peut se déplacer. En l’introduisant et supprimant l’obstacle, la somme des moments virtuels sera nulle. Or, si l’on ne considère que le déplacement virtuel compatible avec l'hypothèse de l’obstacle, le mo- * ment virtuel de la force introduite sera positif; donc la somme des autres sera négative. Elle serait nulle si l’équi-

PREMIÈRE ANSKF. — 5TATKJUE. ()l

libre avait lieu indépendamment de l'obstacle, parce que la force qui le remplacerait serait nulle. ■

97. II suit du principe précédent que le moment virtuel de la résultante de forces quelconques est égal à la somme des moments virtuels de ses composantes; car il v aurait équilibre entre cas dernières si l'on y ajoutait une force égale et opposée à leur résultante. La somme totale des moments virtuels serait donc nulle , et, par conséquent, la somme de ceux qui se rapportent aux composantes serait égale et de signe contraire au moment de la force qui leur fait équilibre, et qui est égale et opposée à la résultante. Cette somme est donc égale au moment de la résultante, puisque deux forces égales et contraires, appliquées à un * même point, ont des moments virtuels égaux et de signes contraires.

98. Si l’on remplace chaque force par scs composantes parallèles à trois axes rectangulaires son moment virtuel sera la somme de ceux de ses composantes. Soient X, Y, Z les composantes d’une force appliquée au point M dont les coordonnées sont .r, y, z; et ix, <?y, âz les variations de ces coordonnées dans un déplacement iniiniment petit du système. Los moments virtuels des forces X , Y", Z seroul, comme nous l’avons démontré, \ùx, Y ây, Zoz, et le moment de leur résultante sera

Xdx + YSy + ZSi.

L’équation générale de l’équilibre d'un système quelconque de points sera donc

(i) 2 (XÆ.r -+- YSy -+■ Zâz) =s o,

la somme S s’étendant à toutes les forces du système, et les variations des coordonnées de leurs points d’application pouvant avoir toutes les valeurs compatibles avec les équations qui lient ces coordonnées.