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c, étant une nouvelle constante arbitraire. Les quatre constantes c, c', c,, a se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points donnes, et a une longueur donnée, et que, de plus, les arcs s se comptent à partir du point B' par exemple.

Nous prendrons, pour plus de simplicité, l’origine des coordonnées en B', et nous désignerons par a et b les coordonnées de B, et par l la longueur totale du fil donné.

Faisant successivement x = o, j- = o, puis x = a, x = b dans l’équation de la courbe , on obtient

d’où

l36 COURS UE MÉCANIQUE.

L’équation qui exprime que s est nul pour x = o est

ot — a t e — e = 2C ,

et pour que s soit égal à l pour x = a , il faudra qu’on ait

ou, en substituant la valeur de c' tirée de l’équation précédente ,

ajoutant et retranchant les équations (3) et (4) , il vient

éliminant « entre ces deux équations, en les multipliant membre à membre , on obtiendra, en prenant les racines carrées ,

ou , en posant — = z ,

La valeur de z peut se déterminer par 1 intersection tic la courbe y = e* — c~ 1 avec t»ne droite ayant pour équa-

l'KKMIint AS>U. — STATIQUE.

lion

On peut encore résoudre l’équation en z par la méthode ordinaire des substitutions successives. Connaissant z et par suite c, on connaîtra a au moyen d’une quelconque de deux équations qui viennent d’ètre multipliées entre elles, ou mieux encore, au moyen de l’équation que l’on obtient en les divisant. Cette équation donne , en prenant les logarithmes de ses deux membres,

. / 4- b ni

Connaissants, l’équation e“ — e “= a c' donnera c' ; c l enfin e, sera connu par l’équation

143. Les constantes étant déterminées, il est facile de connaître les coordonnées du point le plus bas. Ln effet, pour ce point on a

. = », ou ha

dx c

d’où

a = o , et x —

Si l’on prend pour axe des y la verticale qui passe pat ce point , il suffira de changer x en x — ^ » et l’équation (a) deviendra

Le second membre ne changeant pas, quelque signe que l’on donne à x, il s'ensuit que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des y, c’est-à-dire à la verticale qui passe par le point le plus bas.

Si l’on change y en y + c, , c’est-à-dire si l’on prend pour origine le point de cette verticale qui est au-dessous du

point IV de la quantité — c,, et que l’on pose ^ =>n, l’équation de la courbe prend la forme plus simple,

Si les deux points B , B sont à la même hauteur, on a

et, par suite,

l’abscisse — nia du point le plus bas est donc égale à - »

comme cela était évident à priori. L’équation qui déter-

mine z devient = — i et celle de la courbe ne dif-

fère pas de l'équation (5). La valeur de * étant — - ? est

égale à — z : et la constante c' — — sera égale à — — •

1-44. La chaînette jouit de la propriété remarquable, que son centre de gravité est situé plus bas que pour toute autre courbe isopériinètre , ayant les mêmes extrémités.

En effet, l’ordonnée du centre de gravité du périmètre de 1 une quelconque de ces courbes est

et l’on doit avoir

S dx \J

dy'

les limites de ces intégrales étant les abscisses des deux points de suspension. Or, la recherche du minimum de la première intégrale, en ayant égard à la condition exprimée par cette équation, conduit à l'équation d’une chaînette, comme on l’a vu dans le calcul des variations.

1-45. Nous allons démontrer maintenant quelques propriétés géométriques de la chaînette. L’équalion

donne les suivantes :

d’où l’on conclut

dy' y dje 1 m’

Soient R le rayon de courbure , N la longueur de la normale, « l’inclinaison de la tangente sur l’horizontale; on

R = — — /// scc : u , N = — = R.

On trouvera encore

. , / dy- d'y

ds = d.r V / l -t- 4— “ ni — — d.i ,

V dx dx ’ ’

COURS UK MKCANIOUK.

en prenant le point le' plus bas pour origine des arcs. On déduit de là

donc

s 1 tly ' r 1

m tix 1 nr

/« étant l’ordonnée à l’origine.

On obtient encore facilement les formules suivantes :

d’où l’on tire x en fonction de y et s , et par suite en fonction de s, puisqu’on a

Si du pied P (fig. 33) de l’ordonnée d’un point quelconque M, on abaisse sur la tangente MQ une perpendiculaire PQ , on aura

PQ = y cos «1 = m ;

donc

MQ = \J y 1 — m- — s.

Ainsi le point Q appartient à la développante de la chainette ; QP est la tangente à cette courbe , et comme sa longueur est m et par conséquent constante, cette développante n’est autre chose que la courbe appelée tractrice.

Pour avoir son équation , il suffirait donc d’exprimer cette dernière condition , qui conduit entre les coordonnées u , e, à l’équation

On y parviendrait encore par les formules qui déterminent les coordonnées du point Q de la développante d'une courbe quelconque, en exprimant que MQ —s ; ces formules , qu'on obtient immédiatement, sont

En éliminant x , y, j au moyen des équations relatives à la chaînette, et qui donneront d’abord x et y- en fonction de s , on trouvera l’équation Gnie de la tractrice. On la trouvera aussi en intégrant l’équation précédente, et l’on obtiendra

Il ne faut pas ajouter de constante, parce qu’on doit avoir à la fois u — o , v— m. Cette courbe est symétrique par rapport à l’axe des y qu’elle touche en B ( fig . 34) , et a pour asymptote l’axe des x.

En remplaçant u et v par x , y , on a pour équation différentielle de la tractrice,

dx y m' — y 1

d’où

Donc , si l’on décrit de A comme centre avec m pour rayon, un quart de cercle ABC , les aires BI1\ , BMP A seront équivalentes; et l'aire entière comprise entre la courbe et les

axes sera égale au quart de cercle, ou à Si 1 on cherche

la valeur du rayon de courbure O.M = R et de la normale MU = N , on trouve

d’où

et , par conséquent , O est sur la perpendiculaire à AX élevée par le pied 1' de la tangente.

J litre hypothèse sur la force.

IR). Examinons maintenant la courbe que formerait le (il si la force verticale était proportionnelle à la projection horizontale de l’arc, et non à l’arc lui même. Ce cas est, à peu de chose près , celui des ponts suspendus.

Soit e la force rapportée à une projection horizontale égale à l imité; Y ds étant la composante verticale de la force appliquée à l’arc ris dont la projection est rlx , on aura

Y ris = — tdx,

et comme X = o, les équations d’équilibre seront

dx\

— c dx ~ o ,

= tx cc ,

<iy 1 ,

-f- = -* + #•', ax c

c et c' étant deux constantes arbitraires.

La première de ces équations montre encore que la composante horizontale de la tension est constante.

STATIQl E.

Intégrant la dernière, et prenant pour origine l'un des points fixes, on aura

La courbe formée par le fil est donc une parabole dont l’axe est vertical. Les constantes c, c' se détermineront en exprimant que la courbe passe par le second point , et que sa longueur est égale à une ligne donnée.

Supposons, par exemple, que les deux poi nts donnés soient sur une même horizontale; soient 1 a leur distance, et / la longueur de la courbe.

L’équation de la courbe sera satisfaite par y — o , X— 2 a , ce qui donne

c' — o, d’où

et, en substituant,

y = — ( x’ — 2 ai ) , 2 c

et changeant x — a en x,

d’où

Cette équation déterminera c, et, par suite, c'; elle se résoudra par approximation , et le calcul sera très-simple dans le cas où la llèche de l’arc compris entre les deux points fixes sera très-petite par rapport à la corde 2 a. F.n elfet,

— sera très-petit, et l’on pourra développer en séries très-

convergentes les différentes parties du second membre de l'équation. On aura ainsi

c l at / s' aA a'O

i , i ol *’ ,, . SU A

/ = îa + j — — ; ci ou c =z — 1 — ’

c " V ^( 3/ — 2 fl )

147 . Dans les ponts suspendus, les forces ne sont pas réparties sur toute 1 étendue de la chaîne, mais sont appliquées à un nombre limité de points dont les projections horizontales sont équidistantes. On a alors un polygone dont les sommets jouissent de la propriété remarquable d’être situés sur une même parabole. En effet , désignons par a. l’inclinaison d’un côté quelconque sur le plan horizontal , par m la tension horizontale; supposons qu’il y ait un côté horizontal, et prenons son milieu pour l’origine des coordonnées, et soit Ay la différence des ordonnées de deux sommets consécutifs correspondante à la différence constante A x de leurs abscisses; nous aurons

tang a

et tang a = — ;

et, par suite,

tx’

’ia

PftEMIKHK ANMk.lt.

ST A nour .

Or, x =

donne y = o ; donc

et, par conséquent,

six’

équation d’une parabole dont le sommet est sur la verticale menée par le milieu du côté horizontal, et renferme tous les sommets du polygone situés de part et d’autre du côté horizontal. Il en serait de même s’il n’y avait pas de côté horizontal.

Autres exemples de systèmes flexibles en équilibre.

148. Cherchons encore la courbe formée par une voile flexible , soumise à l’action du vent. Nous supposerons que cette voile soit rectangulaire, que deux côtés opposés soient fixes et perpendiculaires à la direction du vent; et nous partirons de la loi suivante, que la pression d'un fluide ni mouvement sur un élément fixe d’une surface est proportionnelle à l’étendue de sa surface, et au carré de la vitesse du fluide estimée dans le sens de la normale à cet clément.

D’après cela, si l'on fait une section dans la voile par un plan perpendiculaire aux côtés fixes , on aura une courbe dont on pourra considérer tous les éléments comme sollicités par des forces normales proportionnelles à leurs longueurs et aux carrés des cosinus des angles formés par la direction du vent avec la normale à la courbe. Donc, d’après les propositions démontrées n°* 86 et 1 45, cette courbe sera une chaînette, pour laquelle la pesanteur agirait dans le sens même du vent.

Si, au lieu d'un courant d’air, on avait un gaz en équi- 1. 1 o

1;{6 COURS l>F. MÉCANIQUE.

libre , la pression serait normale , et égale pour des éléments égaux. Donc, d’après le n°8t), la courbe serait alors un arc de cercle.