Ellipsoïde. — Soit l’équation
on aura
, „ vbc.
| dx , X x, = — - J la 1
d’où
f( a 7 — x’) xdx
r ! ) xdx ;
x, est donc indépendant des axes b , c. Si l’on fait commencer le segment à partir du centre, on aura
PRI-.M IKflK ANN KF..
si l’on lait x — a, il vient
STATIOlir.
142 . Secteur sphérique. — Les formules que nous avons données en coordonnées polaires s’appliquent avec avantage au volume engendré par un secteur circulaire tournant autour d’un axe, que nous choisirons pour axe des z. On suppose que le poids spécifique p dépend du rayon vecteur p et nullement des angles 0 et i|/ : si les limites du premier de ces angles sont 0 O et 0, celles du second o et 2 7r, et celles du rayon , R 0 et R , on trouvera
P = 27T ( cos 6, — cos 0)1 pp'dp ,
Jr.
P z, — n (sin 1 9 — sin ; 6,) J p.
Jk
On ne peut effectuer les intégrations que quand on connaît la fonction p. Dans le cas où p est constant, on a
P = 2 s^ (cos 9, — cos 9) Pz, = jr p (sin 1 9 — sin 1 9.)
R 1 — Ri
R— RJ
d’où
3 (cos 9 -(- cos 6.) (R‘ — Ri) 8 (R 1 — RJ)
Si R 0 = o et 0(, = o, on trouve
Equilibre d'un fil pesant.
Chaînette. — On appelle ainsi la courbe formée par un fil flexible dont deux points sont fixes, cl fini est soumise à
COURS DF MFCAMOLF.
l’action seule de la pesanteur. Toutes les forces étant parallèles , la courbe sera comprise dans le plan vertical passant par les deux points fixes B et B'. Nous prendrons dans ce plan deux axes de coordonnées rectangulaires, dont l’un AY vertical et en sens contraire de la pesanteur. Nous supposerons le fil homogène, et nous représenterons par t son poids pour l’unité de longueur; d’où il suit que es sera le poids d’un arc de longueur s, et que l’on aura
Cela posé, les équations générales se réduiront à
d’où l’on déduit immédiatement
, . „ dx „dy dy c ,
1) T — — c, T — = ts -H ce, — = -j-+-e.
ds ds dx c
La première de ces équations montre que la composante horizontale de la tension est la même en tous les points.
En diflerentiant la dernière, on trouve
dx 1
ou
dp
dx
en posant
dy’ dx »’
dy
dx
On obtient , en intégrant cette équation ,
/.( /) + ^1 -+-/>’)=- X -4- ot,
d’où
Résolvant par rapport à p cl le remplaçant par '-j- •> il vient
