Pour donner une application de ces formules dans
le cas de F (r) = considérons une sphère creuse pour
laquelle p soit une fonction quelconque de Ja distance au centre. Prenons pour axe des x la droite qui joint le centre au point attiré, et qui est évidemment la direction de la résultante des attractions. Désignons par a et A les rayons des deux, surfaces qui terminent le solide, par u le rayon
STATIQUE
intérieur <1 une couche sphérique ayant pour épaisseur du , et par 0 l’angle d’un rayon quelconque avec l'axe des x.
La valeur de V aura pour expression
sin 6 HH
L’intégration par rapport à 0 étant effectuée entre uct i:, donnera la partie de V correspondante à la couche dont l’épaisseur est du ; en intégrant ensuite le résultat par rapport à u entre les limites a et A, on aura la valeur totale de V. Or on a
r 1 — u’ — 2 nu COS 0 + a’ ;
d'où , en observant que u est constant, rdr = un sin flrfô,
et , par suite,
V — — J J p u du dr.
Quaut aux limites de r correspondantes à 0 = o et Q = z, il faut distinguer le cas où le point attiré est extérieur au solide, de celui où il est intérieur.
i°. Si le point attiré est extérieur au solide, on aura a ]> A , et , par conséquent, a^> u pour toutes les couches que l’on a à considérer. On a alors
f dr — 2 tt et V = — I o
“ Ja
Si I on désigne par M la masse du corps,
4ir / p dit = M ;
u? du.
on aura
dou
itiÔ COURS UE MÉCANIQUE.
L'attraction est donc la meme que si toute la matière du corps était réunie à son centre.
a°. Si le point attiré est dans l’intérieur de la plus petite surface , on a a <^a , et , par conséquent , x u dans toute l’étendue des valeurs de u. On a donc alors
fdr =z 2 a et V = 4 nfp u du.
Cette quantité étant indépendante de a , on aura r/V
— — = o, et, par suite, X = o.
aa
On voit donc que, dans cette même loi d’attraction, le solide n’ exercera aucune attraction sur un point situé dans l’intérieur de sa plus petite surface.
On conclut de là que l’action sur un point qui ferait partie du môme solide se réduirait à celle qu’exercerait la partie comprise entre la sphère de rayon a et celle qui passerait par le point attiré. Il faudrait donc supposer la matière qui compose cette partie, réunie au centre, et agissant sur le point , suivant la loi donnée.
S’il s’agit, par exemple, de l’action d’une 6phère pleine, homogène, sur un point de son intérieur, situé à une distance a du centre, on devra prendre M = £ Trp*’ ; et l’attraction a pour valeur '-Ttpfpa. Elle est donc directement, proportionnelle à la distance au centre.
164. Action Æ un corps quelconque sur un point trèséloignc. — Si l’on considère l’action d’un corps de forme et de densité quelconques , sur un point dont les distances à tous les points de ce corps soient très-grandes par rapport à ses dimensions, on arrive-à un résultat remarquable que nous allons faire connaître.
Supposons l’attraction en raison inverse du carré de là distance, et calculons la fonction \ Pour cela, prenons le
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. l6j
centre de gravité du corps pour origine, et faisons d'abord passer l’axe des x par le point attiré.
Soient d la distance de ces deux points, u le rayon vecteur d'un -point quelconque du corps, dm sa masse, x son abscisse , fx la masse du point attiré; la distance de ce dernier point à un point quelconque du corps sera
— 2 Sx U\
et l’on aura par conséquent
V=îrf/w(<?’ — T.Sjç-hu') 1 =- i ïdmli
Si l’on développe la puissance du trinôme, soit par la formule de Lagrange, soit par celle du binôme, on aura une
série ordonnée suivant les puissances croissantes de ^ , et
d’autant plus convergente que " sera plus petit, et l’on
trouvera ainsi, en représentant par M la masse totale des corps attirants, en observant que 2.x dm est nul, puisque l’origine est le centre de gravité du système,
V = — -| 1 ( 3 x’ — «’ ) dm
On peut donc se borner à prendre Y = y en négligeant y
par rapport à En considérant maintenant un système
quelconque d’axes passant toujours par le centre de gravité, et désignant par a, S, y les coordonnées du point attiré, ou aura
Les trois composantes de 1 attraction seront donc respei ti-
veinent
COURS 1». XKAKKIUK.
(i/Ma fi/Me . nf My
d'où l’on voit que leur résultante passe par 1 origine qui est le centre de gravité de la masse attirante, et qu’elle a la même valeur que si toute la masse était réunie en ce point. Ce résultat, qui n’est qu'approché pour un corps quelconque, est tout à fait exact dans le cas de la sphère, quelle que soit la distance du point attiré, pourvu qu'il soit en dehors de la sphère. Dans ce cas, l’intégration ferait disparaître tous les termes, excepté le premier de la série.
Le calcul précédent a été fait d’après une loi particulière : on verra facilement que le résultat serait le même dans le cas où l’attraction varierait en raison inverse de toute autre puissance de la distance, et même suivant des lois plus compliquées.
Action d'une couche elliptique sur un point intérieur.
165. La proposition que nous avons démontrée relativement à l’action d’une couche sphérique sur un point intérieur, peut se démontrer géométriquement dans le cas plus général du solide compris entre deux ellipsoïdes semblables ayant leurs axes coïncidents.
En eflet, supposons d'abord le solide homogène; soient M (Jîg’ 4°) I e point attiré, et fi sa masse. Considérons-le comme sommet d’une infinité d’angles solides qui composent tout l’espace autour de lui, et cherchons la résultante de l’action des deux parties comprises dans un quelconque de ces angles et son opposé au sommet. Soit DGAB une des arêtes de cet angle ; on aura AB = CD par la similitude des deux ellipsoïdes. Si nous désignons par « la mesure de l’angle solide, nous pourrons décomposer le
première année.
STATIQUE
solide AB en éléments dont les épaisseurs PQ formeront la droite AB, et dont l’expression sera ur'i/r; multipliant
par on aura l’attraction que cet élément exerce sur le
point M; on trouve ainsi pf pusdr, et la somme pfpus. AB exprimera l’attraction de la matière contenue dans AB. Ou trouvera de même p J'uus. CD pour l’attraction de la matière contenue dans la partie CD; et comme les droites AB et CD sont égales, ces attractions seront égales, et, par conséquent,. se détruiront. Donc, comme il en sera ainsi pour tous les angles solides autour de M, le solide homogène compris entre deux ellipsoïdes semblables quelconques n'exerce aucune attraction sur un point situé dans l'intérieur de sa plus petite surface.
Celte proposition, étant indépendante de l’épaisseur, a lieu aussi pour une couche inliniment mince. Donc elle est encore vraie pour un solide d'une épaisseur quelconque composé de couches homogènes comprises entre des ellipsoïdes semblables , et dont la naturq varie d'une manière quelconque de F une à l'autre.
160. Surfaces de niveau. — On appelle ainsi celles sur lesquelles un point matériel posé resterait en équilibre sous l’influence des forces du système.
Considérons donc un corps quelconque qui attire un point suivant une loi quelconque; on aura, d’après ce qui précède ,
rfU rfS ’
/AJ <h ’
pour que la résultante soit perpendiculaire à la surface sur laquelle le point peut su mouvoir, il faut qu'on ail pour tous les déplacements sur cette surface, •
Xfl a -4- Y itf, 4- Z//y =. o ,
COURS UK MECANIQUE.
,/ a + rf 6 + rfv = 0 ,
ce qui prouve que U est constant. L’équation des surfaces de niveau relatives à l’attraction ou à la répulsion du corps est donc
c désignant une constante arbitraire.
Quand l’attraction est en raison inverse du carré de la distance, celte équation devient V = c.
167. La fonction Y jouit d’une propriété remarquable, qui est d’une grande utilité pour la détermination de sa valeur.
D’après la valeur de r, on a
r 1 r 3 ’ rfê’ r i r 3
rf’ - , , V
d’où l’on conclut
lü' + ~d¥ + ITf ~ °"
Mais, puisque l’on a V = j' j ' J' - — -i /U’ étant l'élément
de volume , et que, pour dilïérentier une intégrale par rapport à des quantités considérées comine constantes dans
l'intégration , et qui n’entrent pas dans les limites de cette intégrale, il suffit de differentier sous le signe f , on aura
pourvu, toutefois , que la fonction - ne devienne infinie
pour aucune valeur comprise dans les limites de l'intégration ; car on sait que, dans ce cas, la différentiation sous le signe f peut donner des résultats inexacts.
Donc , si le point a , 6 , y ne fait pas partie du corps attirant, on aura
rf’V //’V rf»V
U x‘ d%‘ dy 1
Si le point fait partie du corps, on concevra une sphère infiniment petite dans l’intérieur de laquelle il sera compris ; la fonction V, considérée pour tout le reste du corps, satisfera à l'équation ci-dessus.
Soit p la dtmsité du corps au point attiré, ce sera aussi celle de la petite sphère. Les composantes de l'attraction de la sphère sur ce point, qui est dans son intérieur, seront donc respectivement
— |nu/p(a — n), — pJp(Ç—b), — |irp/p (7 — c).
a , b, c étant les coordonnées du centre de la petite sphère ; on aura donc, en appelant V’ la partie de V qui se rapporte
à cette sphère, rfV
