IV

rf?=- 3*? (e -

‘iv 4 , ,

__ = - rP (7

rf»V' rf’V'

li7 + T/c r

et, par conséquent,

rf’V rf’V ^ + ■rfë' H

rf'V'

rf'V

— 4"pi

rf 7 ‘ =“4* P >

la valeur de p se rapportant au point attiré.

Nous allons montrer, par quelques exemples très-simples, comment 'les équations (i) et (a) peuvent servir à déterminer la fonction \ dont se déduisent les trois composantes de l’attraction.

168. Application à la sphère. — La sphère étant supposée formée de couches homogènes, V sera fonction de la distance r du centre de la sphère au point attiré ; la résultante de l'attraction sera dirigée suivant la droite qui joint

ces deux points, et représentée par tij — •

L’équation- r 7 = a* -+- c* 4- y- donnera

tir a dr 6 dr

(la. r f/6 r i /•/

et l’on aura, par suite,

rf’V a’ rf’V

rfa’

rf’V

rfë 7

r ‘ dr ’ 6» rf’ V r’ rfr’ 7 rf’V /“ rfr 7

. r/V r dr l rfy

/■ dr i rfV 7 rfr

a- rfV r J dr 6’ rfV

~T‘~dr'

.fi 1

r dr

PUFMIKRE AjeSBE. STATIQUE. 1 -J 3

et ajoutant ces trois dernières équations, on aura, en supposant d’abord le point hors de la sphère,

rf’V 2 rfV

Tir* ^7 Tl r~ °'

La fonction V dépend donc alors d’une équation qui ne renferme pas de différentielles partielles. En la multipliant

par r’, son premier membre devient la dérivée de r* — •

■ r flr

On aura donc, en désignant parc une constante arbitraire,

rfy c

Th- ~ r 2 '

Supposons d’abord que la sphère soit creuse et que le point soit dans 1 intérieur de la plus petite surface dont nous désignerons le rayon par R,. L’attraction devant évidemment être nulle pour r = o, il faut qu’on ait

rfV

t = o, et, par suite, — — = o .

rfr

Donc les composantes de l’attraction sont toujours nulles , et le point est en équilibre, quelque position qu’il occupe dans la partie vide de la sphère. Supposons, en second lieu , que le point fasse partie de la masse de la sphère , on a

rf 2 V 2 rfV ,

p étant une fonction donnée de r.

Multipliant par r* et intégrant à partir de R,, il vient,

en observant que ^ étant nul pour tous les points de l’intérieur, l’est aussi à la limite R, ,

r 1 tir.

Or, I 4itr'pdr est la masse comprise entre celte surface JR,

et la sphère qui passe par le point attiré. Si on la désigne par M', on aura

La valeur absolue de l’attraction sera donc ■ elle est la

même que si la masse M' agissait seule et était réunie au centre.

Si le point attiré est sur la surface extérieure ayant pour rayon R , on aura , en désignant par M la masse totale de la sphère creuse.

rfV

et l’attraction exercée sur le point aura pour expression

Enfin, considérons un point extérieur à la sphère, c’està-dire pour lequel on ait r]>R, on aura , comme dans le premier cas ,

Tir

mais , à cause de la discontinuité provenant des points de la masse, la constante c n est pas assujettie à avoir la même valeur que pour les points intérieurs. Pour la déterminer, on fera ;■ = R , et l’on devra trouver, d’après le cas précédent ,

donc c=-M, et l’on aura pour tous les points extérieurs ,

PREMIÈRE ‘AXNÉF. STATIQUE. 1^5

L’attraction aura donc pour expression

Mu/

et l’on en conclut ce théorème :

Une sphère creuse composée de couches concentriques homogènes exerce sur les points extérieurs la même action que si toute sa masse était réunie à son centre.

169. Application au cylindre indéfini. — Considérons maintenant un cylindre creux indéfini composé de couches homogènes dont la densité n’est fonction que de la distance à l’axe de ce cylindre, que nous prendrons pour axe des z ; son action sur un point quelconque sera dirigée vers le point où l’axe est coupé par un plan perpendiculaire , mené par le point attiré.- Nous prendrons ce point de l’axe pour origine, et nous désignerons par r sa distance au point attiré; l’attraction ne dépendra que de r, et son expression sera

Or, pour les points qui ne font pas partie de la masse du cylindre, on aura, en observant que V est indépendant de y,

tld 1 d&'

dr 1 r dr

Multipliant par /•, on a

c étant une constante arbitraire.

1^6 cours nr, RtcuiiQin.

Mais remarquons , comme dans le cas d’une sphère creuse, que les points extérieurs et les points intérieurs à la couche cylindrique étant séparés par ceux de la masse de cette couche, pour lesquels les circonstances sont différentes, il n’y a pas continuité en passant des valeurs de r plus grandes que le rayon de la surface extérieure du cylindre, aux valeurs de r plus petites que le rayon de la surface intérieure.

Pour les points de l’intérieur de cette surface, la valeur de c est invariable; or elle est évidemment nulle pour /■ = o; donc on a, pour tous les points de l’intérieur,

rfV dr

D’où l'on conclut qu’un cylindre creux indéfini, composé de couches concentriques homogènes , n'exerce aucune action sur un point situé dans l'intérieur de sa surjace interne.

On démontrerait directement cette proposition de la même manière que pour l’ellipsoïde creux.

rfV

Cherchons maintenant la valeur de — pour les points appartenant à la masse du cylindre; pour ces points, on a

d'X dr 1

r dX r dr

et l’on trouve par l’intégration, en désignant par R, le rayon de la surface intérieure ,

r Tr =Z -^) K ? r<ir -

11 n’y a pas de constante à ajouter, parce que est nul

pour r = R,, puisqu’il l’est pour lotis les points de l’intérieur de la surface dont le rayon est R,. En faisant r — R,

on obtient

PBKMIKRK ANNÉE. — STATIQUE.

Pour les points extérieurs on doit avoir

AV C Ar R

Faisant /• = H , on trouve, en vertu de l'équation précédente,

C = — 4 W / prAr.

La constante étaut ainsi déterminée, on aura pour toute les valeurs de r plus grandes que R ,

AV C Ar r '

et l'attraction du cylindre aura pour expression

On voit qu’elle varie en raison inverse de la distance du point à l’axe du cylindre.

Attraction des ellipsoïdes.

170. Pour connaître les trois composantes de l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point , on décomposera ce corps en couches iuliniment peu épaisses, par une série de surfaces semblables à celle qui le termine ; on cherchera les composantes de l’attraction d’une quelconque de ces couches, en fonction du paramètre qui détermine une des surfaces de cette couche, et de son épaisseur; puis on intégrera ces trois expressions différentielles en faisant varier le pai. ix

COURS OC MECARIQL'K.

ramètrc entre les limites correspondantes aux surfaces extrêmes que l'on doit considérer.

Si l’ellipsoïde est plein, les surfaces limites seront celle de cet ellipsoïde, et son centre.

Si le solide attirant est compris entre les surfaces de deux ellipsoïdes semblables , ces surfaces seront les deux limites.

Mais si le point attiré se trouvait dans l’intérieur du solide, il serait inutile de considérer la partie située au delà de la surface d’un ellipsoïde semblable passant par ce point, parce que l’on sait que son action est nulle.

On voit donc que, dans tous les cas, la question revient à calculer les trois composantes de l 'attraction d’une couche comprise entre deux ellipsoïdes semblables et infiniment rapprochés , sur un point situé en dehors de celte couche, ou sur sa surface.

Nous commencerons par établir quelques propositions qui ramènent ce problème au cas où le point attiré est situé sur la surface extérieure de la couche. Ces propositions et les calculs qui suivent sont tirés des Mémoires de M. Chasles.

Comparaison de l’action de deux couches Itomofocales sur un même point extérieur.

171 . Considérons une couche homogène comprise entre deux ellipsoïdes semblables, infiniment rapprochés. Les composantes de son action sur un point extérieur M [fig- 4 1 ) dont les coordonnées sont x,y, z , sont proportionnelles aux dérivées partielles par rapport à ,r, d’une fonction V qui exprime la somme des masses des éléments de la couche, divisées par leurs distances au point M.

Considérons, en second lieu, une couche homogène d’une densité quelconque, comprise entre deux ellipsoïdes

PHEMlhRK AKXKK. — STATigvr.

semblables entre eux, dont l’extérieur passe par M, et qui soient respectivement homofocaux avec ceux qui terminent la première couche; ces deux ellipsoïdes seront complètement déterminés, et les axes de même direction seront dans le môme rapport dans les deux systèmes.

Désignons généralement par points correspondants sur les surfaces de deux ellipsoïdes quelconques , ceux dont les coordonnées sont respectivement entre elles comme les axes qui leur sont parallèles. Il est facile de reconnaître que, quand ces ellipsoïdes sont homofocaux, la distance d’un point quelconque de l'un à un point quelconque de l’autre est égale à la distance des points respectivement correspondants.

Cette proposition se déduit immédiatement des deux suivantes, dont la démonstration est trop facile pour que nous la rapportions :

i°. La différence des carres des distances du centre à deux points correspondants de deux ellipsoïdes homofocaux est constante ;

■2 e . Le produit de deux rayons quelconques , pris respectivement dans les deux ellipsoïdes , par le cosinus de leur angle , est le meme que pour les rayons menés aux points correspondants.

La somme. des carrés de ces rayons est aussi la môme de part et d’autre, en vertu de la première proposition. D’où résulte le théorème en question.

On voit facilement aussi que si l’on considère les deux couches homofocales dont il a été déjà parlé, tout point pris dans l’épaisseur de l’une a son correspondant dans l’autre ; cl deux portions terminées à dôs surfaces dont tous les points sont correspondants dans les deux couches, sont proportionnelles aux produits des trois coordonnées des points correspondants, ou aux produits des axes des ellipsoïdes intérieurs ou extérieurs, et, par suite, aux volumes

i8o cours ne mécanique.

des deux couches; car ou peut décomposer ces deux volumes en parallélipipèdes infiniment petits ayant leurs arêtes parallèles aux axes, et leurs sommets en des points correspondants. Les arêtes de ces parallélipipèdes seront proportionnelles aux axes parallèles; les volumes seront donc proportionnels aux produits des trois axes respectifs, et, par conséquent, leurs sommes ou les deux volumes en question le seront aussi comme nous l'avons annoncé.

Cela posé, partageons le volume de la couche proposée en éléments infiniment petits, et divisons la masse de chacun d’eux par la distance au point M, de l un quelconque de scs points, que l’on pourra choisir sur la surface même de l’ellipsoïde passant en M 7 , vu l'épaisseur infiniment petite de la couche; nous aurons ainsi tous les éléments de l’intégrale V. Partageons ensuite le volume de la seconde en éléments correspondants , et divisons la masse de chacun par la distance au point M 7 correspondant de M sur la surface extérieure de la couche donnée. Deux éléments correspondants étant entre eux comme les couches entières, et leurs distances aux points correspondants M, M 7 étant égales, les deux sommes ou les deux fonctions V seront aussi entre elles comme les masses des deux couches. Or, la fonction Y, qui se rapporte à la couche passant par M, -est constante pour tous les points de son intérieur, et, par conséquent, pour tous ceux de la surface extérieure de la couche passant par M 7 : donc aussi la fonction V sera constante pour la couche proposée, quelque position que l’on donne au point M sur l'ellipsoïde homofocal passant par M. Donc la résultante (le l'attraction de la couche proposée sur le point M est normale à l'ellipsoïde homofocal passant par ce point.

Nous pouvons maintenant comparer les actions exercées sur le point M par la première couche, et une aulie dont les deux surfaces semblables seraient liomofoealcs à celles

WVKMlhHK AN.NKIC. — STATlyllE. )8l

de la première, et seraient comprises entre elles et celle qui passe par M. En effet , les fonctions V qu’elles fourniraient relativement au point M, étant divisées par leurs masses respectives, donnent le même résultat, d’après ce qui a été dit précédemment. D’où il suit que les dérivées partielles de ces deux fonctions sont, comme elles-mêmes, dans le rapport des masses des deux couclies; et, par conséquent, les résultantes des attractions de ces deux couches sur un même point extérieur sont de même direction , et proportionnelles à leurs masses (*).

Enfin celte proposition nous couduit à la réduction que nous avions annoncée. En effet, nous pouvons supposer que la couche dont nous venons de comparer l’action à celle de la proposée, vienne se confondre avec celle dont la surface extérieure passe par le point M. Ces deux actions étant de même sens, et proportionnelles aux masses des deux couches, l’une d'elles détermine l’autre. D’où l’on voit que, pour reconnaître l’action d'une couche sur un point extérieur, il sujjil de calculer celle qu 'exerce sur ce même point une couche homofocale et de même matière , dont la surface extérieure passera par ce point, et de la multiplier par le rapport du volume de la première à celui de la seconde, sans rien changer à sa direction.

Calcul de l'action d'une couche elliptique sur un point de sa surface.

172. Soit M (Jig- 4 2 ) un point quelconque de la surface extérieure d’une couche homogène , comprise entre deux

(*) Cette proposition conduit facilement, comme l’a montré M. Chasles, et comme nous le ferons voir bientôt, au célèbre théorème de Maclaurin, par lequel on ramène le calcul de l’attraction d’un ellipsoïde homogène 6ur un point extérieur h celui d'un autre ellipsoïde sur un point de sa surface ; problème plus facile et qu’on a su résoudre longtemps avant l’autre.

|8'2 COURS DK MÉCAKIQUS.

ellipsoïdes semblables et infiniment rapprochés. L'attraction ■ de cette couche sur ce point sera dirigée suivant la normale MN à l'ellipsoïde extérieur; de sorte qu’on pourra remplacer chaque action élémentaire par sa composante, suivant MIS.

Considérons le point M comme sommet d'une infinité d’angles solides, composant l'espace situé d'un même côté du plan tangent.

Soient d w l’un quelconque de ces angles, et MM' la direction d’une de ces arêtes : on peut décomposer la partie de la couche qu’il renferme en éléments dont le volume aura pour expression r'drdw, r étant leur distance au point M. Multipliant par la densité p, par la force attractive /' de deux unités de masse, situées à l'unité de distance, par la masse u du point supposé en M, et divisant par le carré de la distance, on aura l’attraction de l’élément de la couche sur la masse p; son expression sera

r/rtit*',

intégrant de M à P, on aura

p /pMPrf»;

intégrant ensuite de P' à M’, on trouvera p/p M'P'rf».

Or, M'P' = MP, puisque les deux ellipsoïdes sont semblables; donc l’attraction de la partie comprise dans l'angle r/o> se réduira à

2p/'pL MP</(ü.

Multipliant celte force par cos PMK , on aura sa composante suivant la normale, et l’on obtiendra ainsi, en observant que MP cos PMK = MK,

l'KhMlKRK ANNÉE. — STATIQUE. |83

Cette expression n’est exacte qu’en supposant l’are PK infiniment petit, comme cela a lieu ici, puisque MK est infiniment petit.

L’angle extrême KMP est droit, parce que PK est un infiniment petit d’un ordre moins élevé que MK -, de sorte que, si l'on fait la somme de toutes les expressions semblables, pour tous les éléments rfo>, on aura, pour l’action de la couche entière,

4 MK.

Au lieu de l’épaisseur MK de la couche au point M, il vaut mieux introduire la différence des demi-grands axes n et a -f- rla des deux surfaces.

Or on a

MK QO Mf — MÔ’

„ , MI MI da r , ., .

cl f on peut remplacer — par — ou — Donc 1 action de 1 1 MO 1 IO a

la couche aura pour expression

P étant la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en M.

Les composantes de cette action, parallèlement aux axes positifs des .r, y, z, s’obtiendront en la multipliant par les cosinus des angles que forme avec ces axes la direction intérieure de la normale. Désignant par a , b , c les demi-axes de l'ellipsoïde, et par x , y, z les coordonnées de M, ces cosinus ont pour valeurs

— Pc — Y y —Pc

Les trois composantes auront donc respectivement pour

expressions

COURS DR MKCASIQUK.

— 4 np/p - X *"- , — 4 epfp

P'- y t/a al)'

, P 1 zda

- 4 *tfp »

la valeur de P 1 étant

On peut observer que , d’après les

les expressions des deux dernières composantes se déduiraient de la première en changeant x et a en y et b , ou en z et c.

, , <ia ri b de

égalités — = — = — , abc

Calcul ries composantes de l attraction d’un ellipsoïde sur un point extérieur.

173. Soient A, B, C les demi-axes d’un ellipsoïde homogène, A étant le plus petit, et posons

Désignons par a , 6 , y les coordonnées d’un point extérieur ; il s’agit de calculer les composantes X , Y, Z de l’attraction de l’ellipsoïde sur ce point, auquel nous supposons l’unité de masse.

Décomposons ce corps en couches infiniment peu épaisses, par des ellipsoïdes semblables. Soient a et a — da les demiaxes des x des deux surfaces qui terminent une couche quelconque, les autres axes s’ensuivront; et, lorsque nous aurons calculé les composantes de l’action de cette couche, il suffira de les intégrer par rapport à a , depuis a — o jusqu'à a — A, si l’ellipsoïde est plein. Dans le cas où il s’agirait d’un solide creux terminé par deux ellipsoïdes semblables.

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l85

on intégrerait depuis la valeur de a relative à la surface intérieure jusqu’à a — A.

Substituons à la couche en question une couche terminée par des ellipsoïdes semblables entre eux , homofocaux à ceux qui terminent la première , et tels que le plus grand passe par le point M.

Soient a', b c' et a' — da', b' — db', c' — de' les demiaxes de ces deux ellipsoïdes, on aura les relations suivantes :

a" — o 1 = à’’ — à’ = c'* — c 1 , rla fia' abc a a' 1 A B C’

les composantes de l’action de celte couche sur le point M seront

. , P ’'da’ P'’ da' , , V'da'

abc

Si on les multiplie par -, i on aura les composantes de

l’action de la couche en question ; et l’on trouvera ainsi , en

, da' da

remplaçant — par — -,

/y p '’beda

fl A. = 4 ’ r ,°/ a — - , 1

,,, , P beda

, P' 1 bc da

dZ = - 4*0/7 — —

Posons

a ' 1 b' c' P' 1 bc de b '* a' c' P' 1 èr da c' s a' b'

— — n , d’où a' — air a

1 8 G COURS DK MbCANIQUB.

et , en verlü des équations (i) ,

l’équation ( 2 ) donnera

Ainsi a et, par suite, a b\ c' dépendent de u.

Il reste à exprimer P'* en fonction de u, et les composantes élémentaires </X , d Y, d'L seront ramenées à celle seule variable.

Or, on a

Diflérentiant l’équation (3), pour exprimer da au moyen de du, et ayant égard à la valeur de P' 1 , on trouvera

d’où

P' 1 da = a' 1 du ,

dX = — 4*p/

bc du

«ITT’ b c

dx= - 4 rp/e b , ~ du ,

d Z = — 4 wp/y

n' 1 Ar

rf«.

Remplaçant /> . c , «\ />', r' par leurs valeurs en « et //, «

PEKM I ERE ANN LK. — STATIQL E.

disparait, et il vient, en introduisant la masse M= ABC,

dX =

u 1 du