CHAPITRE PREMIER

I)U MOUVEMENT u’b'N POINT.

184. La notion du temps est une de celles qui ne peuvent être ramenées à aucune autre, et qui, par conséquent, ne sont pas susceptibles de délinition. Mais ce qu'il faut définir dans ces sortes de grandeurs, c'est l’égalité; faute de quoi , elles ne seraient pas susceptibles d’être mesurées, ni , par suite, soumises au calcul.

Nous dirons que deux intervalles de temps sont égaux, lorsque deux corps identiques, placés dans des circonstances identiques au commencement de chacun de ces intervalles et soumis aux mêmes actions et influences de toute espèce, auront parcouru des espaces identiques à la fin de ces intervalles. La notion de l’égalité conduit immédiatement à celle d’un rapport quelconque.

Le mouvement d’un point est dit uniforme, lorsque ce point parcourt des espaces égaux, en temps égaux, quelque petits que soient ces temps.

200 COU Ils DI. MUCANIIJDK.

Lorsqu’un mouvement n’est ni uniforme, ni composé de mouvements uniformes ayant des durées finies, on l’appelle mouvement varié.

18o. Vitesse. — Les mouvements uniformes peuvent diiférer les uns des autres par les espaces parcourus dans des temps égaux ; et celle considération donne naissance àl'idée, d’abord un peu vague , de vitesse. Pour introduire dans le calcul eel élément indispensable, il est nécessaire d’en donner une définition précise, et nous appellerons vitesse d’un point dont le mouvemeut est uniforme, l’espace qu’il parcourt dans l’unité de temps-, ou, en d’autres termes, le rapport de l’espace parcouru au temps employé à le parcourir : de sorte que le point dont la vitesse sera exprimée par le nombre i, parcourra l’unité de longueur dans l’unité de temps.

On voit, d’après cette définition, que, dans un même mouvement, la quantité que nous appelons vitesse sera d’autant plus grande, que l’unité de temps le sera davantage, ce qui ne s’accorde pas avec l’idée qu’on en a vulgairement; mais le rapport des vitesses dans deux mouvements ditférents en est complètement indépendant; c’est le rapport des espaces parcourus dans un même temps.

On voit encore que le nombre qui exprime la vitesse varie avec l’unité de longueur; il est d'autant plus grand, que cette unité est plus petite. Ces remarques sur l’influence des diverses unités sont indispensables pour reconnaître l’ homogénéité des formules de la Dynamique.

Rcmatque. — Si l'on voulait admettre, à priori, la notion de vitesse et n’eu pas donner de définition , il faudrait, comme nous l’avons remarqué dans d’autres circonstances, définir l'égalité de ces sortes de quantités. On dirait alors que les vitesses, dans deux mouvements uniformes, sont égales lorsque les espaces parcourus dans le même temps sont égaux. On définirait l'addition des vitesses parcelle

PRKMIKRK ASSKK. — STaTUJUK. 2ut)

îles espaces parcourus dans un même temps. De là résulterait que le rapport de deux vitesses est celui des espaces, et que, par conséquent, la vitesse d’un point est mesurée par l’espace qu’il parcourt dans l’unité de temps, en prenant pour unité la vitesse du point qui, dans l’unité de temps, parcourt l’unité de longueur.

186. Dans le mouvement varié, on ne peut plus appeler vitesse à un instant quelconque l’espace parcouru pendant l’unité de temps, à partir de cet instant, parce qu’alors la vitesse du mobile dépendrait des variations plus ou moins irrégulières que subirait le mouvement au delà de l’époque dont il s’agit : et cette considération ne serait d’aucun intérêt.

C’est ainsi que, dans la théorie des courbes, on a pu prendre pour mesure de la courbe du cercle, en un quelconque de ses points, celle d’un arc égal à l’unité; mais pour une ligne où la courbure n’est pas proportionnelle à ) la longueur de l’arc, il n'a pas été possible de mesurer la

courbure en un point par celle d’un arc égal à l’unité commençant en ce point.

On peut faire des remarques semblables pour le poids spécifique en un point d’une substance hétérogène; pour la température en un point d’un corps inégalement écliaufié, etc.

Aussi reconuaitra-l-on la plus grande analogie entre la manière dont nous avons procédé dans les différentes circonstances que nous venons de rappeler, et celle dont nous allons procéder dans le cas actuel.

Soit M [fig- 43) l a position qu’occupe, à un certain instant, un point qui décrit d'un mouvement varié une ligue de nature quelconque. Après un certain temps 0, il sera parvenu en un autre point N, et le rapport de l'espace par- MN ...

couru au temps, ou — > exprimera la vitesse moyenne avec

COURS IIP. MKC\MQUF..

laquelle cet arc a été décrit; c’est-à-dire que ce sera l’espace parcouru pendant l'unité de temps, en supposant le mouvement uniforme, et tel que l'arc MN soit parcouru pendant le temps 0. Si maintenant on suppose que 0 diminue indéfii • MN

nunent, la vitesse moyenne — variera en meme temps, et

tendra vers une limite déterminée, que nous appellerons la vitesse du mobile au point M.

Ainsi, pour employer le langage reçu dans le calcul infinitésimal, on appelle vitesse d'un mobile à un instant donné, la vitesse moyenne avec laquelle il décrit un arc infiniment petit, à partir de cet instant.

Si l’on désigne par t le temps, et par s la longueur des arcs de la ligne décrite, à partir d’une origine arbitraire, la

limite du rapport ~ n’est autre chose que Ainsi la vitesse en un point quelconque du mouvement est exprimée par la première dérivée de l’espace parcouru par rapport au temps.

187. 11 est bon de remarquer que l are décrit dans un temps infinimcnl petit peut être considéré comme le produit de ce temps par la vitesse du mobile au commencement de ce petit intervalle. Car cet arc serait rigoureusement le produit du temps par la vitesse moyenne relative à cet intervalle, et cette vitesse moyenne diffère d’une quantité infiniment petite de ce que nous avons appelé vitesse au commencement de l'intervalle. Il est évident que l’on pourrait encore prendre la vitesse à une époque quelconque du même intervalle. Le résultat ainsi obtenu ne différera jamais de celui que l'on cherche que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-mème, et pourra par conséquent lui être substitué toutes les fois que l'on n'aura à considérer que des limites de rapports ou de sommes.

Ainsi, par exemple, l’espace parcouru dans un temps

f* R F. Ml K RI'. AXMKF. — STAT l OU F.. 21 j

tint sera la limite de la somme des produits des éléments infiniment petits de ce temps, par les vitesses correspondantes aux commencements de ces éléments. La vitesse telle que nous venons de la définir, joue donc le même rôle dans le mouvement varié, que la vitesse premièrement définie, dans le mouvement uniforme, pourvu que l'on ne considère que des termes infiniment petits; et c’est à cause de cette analogie, qu’il était convenable de lui donner le même nom.

188. Éijuation finie du mouvement uniforme . — Le 'mouvement uniforme d’un point sur une ligne indéfinie, droite ou courbe , peut être représenté par une équation du premier degré entre le temps et la distance.

Désignons par t le temps compté à partir d’une époque déterminée, par x la distance du point mobile M à une origine fixe O, prise sur la ligne indéfinie X'X que ce point parcourt; a la dislanceOA de l’origine au point où se trouve le mobile lorsque t = o; enfin v sa vitesse, ou l’espace constant qu’il parcourt dans l'unité de temps.

Cela posé, nous nous proposons de trouver une équation au moyen de laquelle on puisse connaître la position du point mobile, à une époque quelconque, c’est-à-dire une équation entre x et t.

Or le mobile parcourant un espace v dans l’unité de temps, parcourra vt dans le temps quelconque t; et par conséquent, si l’on suppose d’abord que la direction du mouvement soit celle des .r positifs OX, à un instant quelconque on aura

x = a -f- vf,

x et a étant des quantités positives ou négatives, suivant la position des points A et M par rapport à l’origine; v étant un nombre absolu, et f un nombre positif correspondant aux différentes époques postérieures à celle qui sert d’origine aux temps.

COURS DK «KCASIQUE.

On aperçoit immédiatement qu’il est inutile d'employer une équation distincte de la précédente, pour représenter les positions du mobile, qui correspondent aux époques antérieures à celte origine, et qu’il suffit de donner à t des valeurs négatives dans l'équation ci-dessus.

Enfin, on peut renfermer dans cette même équation les mouvements uniformes, dont la direction est opposée à celle des x positifs; et l’on aperçoit aisément qu’il suffit de supposer que v ne représente pas seulement le nombre d’unités de longueur parcourues dans l’unité de temps, mais ce nombre afl’ecté inplicitement du signe — . De cette manière, l’équation générale

(i) x = a -t- vt

peut représenter tous les mouvements uniformes , rapportés à des origines quelconques pour les temps et les distances, et à une direction quelconque du mouvement par rapporta celle des x positifs.

Les quatre quantités ar, a, v, t peuvent donc être implicitement négatives, et nous venons de déterminer dans quelles circonstances elles devaient être considérées comme telles. Cette manière de les envisager est , comme nous l’avons dit, indispensable pour que tous les cas soient renfermés dans une seule équation; ce qui est de la plus haute importance, comme ou le sait, dans toutes les formules algébriques.

Cette équation (i) peut donner lieu à diverses questions simples, que l’on traite ordinairement dans les cours élémentaires d'algèbre, et dont nous ne nous occuperons pas ici.

189. Équation différentielle du mouvement uniforme. — Nous avons vuque , dans un mouvement quelconque, la

vitesse était mesurée par s désignant l’espace parcouru :

PREMIERE ’anwée.

STVTIQÜF..

ai 3

celle expression devient, dans le cas actuel, — » indépendamment de toute considération de signe.

Or, si nous prenons t pour variable indépendante, et, par

suite, //«positif, — sera positif si le mouvement a lieu dans

le sens des x positifs, et négatif dans le cas contraire. Si

donc nous posons c’est dire que nous entendons

par v une quantité positive ou négative, suivant que le mouvement a lieu dans le sens des x positifs ou négatifs; du reste, les origines des temps et des abscisses n’y entrent pour rien, et le mouvement peut être varié d’une manière arbitraire. Ainsi pour avoir une équation qui renferme tous les mouvements uniformes, il suffira de poser

v désignant une quantité constante, positive ou négative.

Celte équation se déduirait de (i) par la différentiation, comme réciproquement, on en déduirait la première par une intégration, qui introduirait une constante arbitraire//.

190. Mouvement uniformément varié . — Aprèsle mouvement uniforme , le plus simple est celui où la vitesse, au lieu d’être constante, varie uniformément, c’est-à-dire de telle sorte que ses accroissements soient proportionnels à ceux du temps. Ce mouvement, qui servira de terme de comparaison aux mouvements variés plus compliqués, mérite qu'on en dise ici quelques mots, et c’est par lui que nous terminerons ces exemples simples.

La condition que la vitesse v ait scs accroissements proportionnels à ceux du temps , entraîne celte autre condition

que sa dérivée — soit constante, et réciproquement. Jbn

(.OURS DF. MFCANJytJI..

désignant donc par a une constante quelconque , positive

ou négative, l'équation générale qui renfermera tous les

mouvements uniformément variés sera

dv d 1 x

— a . ou — — =a puisque dt ' dt 1 11

on déduit de là , en intégrant ,

(«) v ~at + b=—,

équation qu'on aurait pu obtenir immédiatement : en 1 in tégrant de nouveau , il vient

( 2 ) • X = — Ùt C ,

b et c désignant deux constantes arbitraires. ,

Les accroissements de la vitesse sont positifs ou négatifs en même temps que a, qui est l'accroissement de la vitesse, dans un temps quelconque, divisé par ce temps; ou l’accroissement de la vitesse dans l’unité de temps.

On donne à cette quantité le nom particulier ^'accélération. En entendant que cette accélération peut être positive ou négative, comme nous l'avons dit, le mouvement peut être dit uniformément accéléré ; et cette dénomination n’entraine pas l’idée d’une vitesse croissante plutôt que décroissante.

Les équations (1) et (2) dans lesquelles w, ô, c peuvent avoir des signes quelconques, donnent lieu à divers problèmes d’algèbre élémentaire, dont la discussion n’offre aucune difficulté, et dans le détail desquels nous 11e pouvons entrer ici . ,

Du mouvement rectiligne varié en général.

1 U 1 . Dans ce qui précède, nous avons supposé que le point se mouvait sur une ligne quelconque. Mais niaintc-

dx dt ’

l'IUJtlfclU- ASNÉK. — STATlyCK. 2l5

liant (|uc nous allons faire une étude plus approfondie du mouvement, nous supposerons d'abord, pour ne pas réunir toutes les difficultés, qu’il s’effectue sur une ligne droite.

La notion d’accélération que nous venons de donner dans le mouvement uniformément accéléré peut recevoir une extension analogue à celle que nous avons donnée à la vitesse.

En effet, désignons par Ae l’accroissement de vitesse que prend le point, à partir d’un instant quelconque, lorsque le temps croit de A/,ct imaginons un mouvement uniformément accéléré dans lequel la vitesse serait la même que celle du mobile au premier instant, et qui aurait une accélération telle, que la vitesse croîtrait de même de Au dans le temps A/; cette accélération moyenne sera mesurée, d’après ce qui précède, par ~ , et tendra vers une

certaine limite à mesure que A t tendra vers zéro.

Cette limite est ce que l'on appelle Y accélération dans le mouvement proposé, à l’instant que l’on considère. Son expression est

. dv d 7 jc

dt itt‘

Et il est facile de voir qu’elle jouera le même rôle dans le mouvement varié en général , que dans le mouvement uniformément accéléré , pourvu que l'on ne considère que des intervalles infiniment petits. En effet, si A /est infiniment petit, on aura

A v dv

A t dt

j étant aussi infiniment petit, et, par conséquent,

dv

Av =: — At + iAI.

dt

COURS UK MK SMyllK.

2lfi

Donc, 1 accroissement Au de la vitesse ne diffère de

Y A t que d'une quantité infiniment petite, par rapport à

Au, et qui pourra être négligée toutes les fois qu’on ne considérera que des limites de sommes ou de rapports. Donc , dans tous les cas de ce genre , l'accroissement infiniment petit de vitesse pourra être calculé comme si le mouvement était uniformément accéléré, et que l’accélération de ce mouvement lût égale à ce que nous avons appelé l'accélération dans le mouvement varié en question.

Remarque. — 11 est bon de remarquer que nous avons considéré de deux manières fort dilTéren tes un mouvement varié quelconque, comme limite de mouvements successifs de durées infiniment petites. Dans un cas, ces mouvements élémentaires sont uniformes, dans l’autre ils sont uniformément accélérés.

Les premiers ont, à l'instant commun, le même ^ que

le proposé, en d’autres termes, la même vitesse; les seconds,

le même ^ et le même — — i c’est-à-dire même vitesse et de dt‘

même accélération. Les premiers ont, s’il est permis de s’exprimer ainsi , un contact du premier ordre avec le proposé; les seconds , un contact du second ordre. Mais aussi on ne peut, même dans un temps infiniment petit, remplacer le proposé par les mouvements élémentaires du premier genre que pour calculer les accroissements d’espace ; tandis qu’on peut employer les autres pour le calcul de l'accroissement de la vitesse. •

Mouvement curviligne cl un point.

102. Direction tic la vitesse. — La définition que nous a nous donnée de la grandeur de la vitesse est indépendante

WOMIkRK ASXtK. STAT1QUR. 2 1 7

de la ligne que décrit le mobile, et que l’on nomme ordinairement la trajectoire. Mais quand le mouvement est curviligne, il y a une considération de plus à introduire, celle de la direction. Dans le mouvement rectiligne, la droite qui joint une position du mobile avec une autre intiniment voisine, a toujours une même direction, celle de la droite qu’il décrit , et qu on nomme la direction du mouvement. Dans le mouvement curviligne, la droite qui joint une position déterminée à celle qu’il a, après un temps infiniment petit, varie à mesure que l’intervalle diminue, et tend vers une limite que l’on appelle quelquefois la direction du mouvement à l’instant considéré, et que nous nommerons spécialement direction de la vitesse à cet instant. Elle se confond évidemment avec la tangente à la trajectoire au point que l’on considère, prise dans le sens du mouvement.

Les cosinus des angles qu elle fait avec les trois axes d'un système de coordonnées rectangulaires seront donc, en grandeur et en signes,

tir tly dz

ds ds ’ d.< ’

en considérant ds comme la valeur absolue de l'élément de l’arc, et dx, dy, dz comme les accroissements positifs ou négatifs des coordonnées x,jr, z du mobile dans le temps infiniment petit dt.

193. Composition et décomposition des vitesses. — Lorsque plusieurs forces sont appliquées à un même point , nous avons vu dans la Statique qu’elles pouvaient être remplacées par une seule; et il y a une construction géométrique , très-simple pour obtenir cette résultante, lorsque toutes les forces sont représentées, pour leurs grandeurs et pour leurs directions, par des droites partant de ce point. Lorsque des constructions semblables se rencontrent sans qu il s’a-

r.uuits m MK^Niour.

gisse de forces, il est commode d’employer des dénominations analogues qui indiquent immédiatement ce qui, autrement, exigerait de longs développements. C'est dans et: sens que nous emploierons quelquefois ces expressions, résultante de droites données de grandeurs et de directions partant d’un même point-, composantes d’une ligne de direction et de grandeur donnée.

C’est dans ce même sens que nous entendrons la composition et la décomposition des vitesses. Ainsi, pour avoir les composantes d’une vitesse donnée suivant trois directions données , nous construirons sur la droite qui la représente en grandeur et en direction, un parallélipipèdc dont elle soit la diagonale et dont les trois côtés soient dans les directions choisies pour les composantes. Ce serait l’inverse pour la composition de trois vitesses; et quel que soit le nombre des composantes données ou cherchées , on entendra toujours qu’il y a les mômes constructions à faire que s'il s'agissait de composer ou décomposer des forces appliquées à un même point. Si l’une des composantes étant parallèle à une direction donnée, toutes les autres lui sont perpendiculaires, cette composante est ce qu’on appelle la vitesse estimée suivant cette direction. Ce n’est autre chose que la projection de la vitesse sur cette direction. Nous verrons par 1 usage l’utilité que ces transformations peuvent avoir. Mais jusqu’ici il ne faut attacher à ces dénominations de composantes et résultantes de vitesses (pie le sens précis qui résulte de nos définitions.

194. Composantes de la vitesse parallèlement aux axes. — Si I on suppose les axes rectangulaires, ces composantes iinc seront autre chose que les projections de la vitesse sur les axes. En prenant la vitesse en valeur absolue, et sa direction comme nous en sommes convenus . il faudra faire

, ’ • . x ds . tl.r tir i/z

les produits de — respect i minent par — ï — ■ ; ce ont

1 fit 1 1 ,ls t/s rts 1 .

PREMIÈRE AKNKK. — STATlyUf. 311)

donnera pour les composâmes de la vitesse,

d. r dy riz dt ’ ilt ' lit '

elles seront positives ou négatives, suivant que la direction de la Vitesse fera avee les axes des angles aigus ou obtus.

Mais il est facile de voir que ces expressions subsistent encore dans le cas d’axes obliques.

En effet, soient M une position quelconque du point, et M ? celle qu’il occupe après un temps très-petit; Ax, Ay, A z les accroissements des coordonnées de M; le parallélipipède dont les arêtes sont Ax, Aj', A z, et la diagonale MM', tend à devenir semblable à un parallélipipèdc qui aurait les arêtes parallèles aux axes, et sa diagonale suivant la tangente, ür, ce dernier est semblable à celui dont la diagonale et les arêtes seraient la vitesse et ses composantes : donc les rapports de celles-ci à la vitesse sont les limites des rapports

àx

as

MM 7 ’

MM' ’

MM'’

dx

dy

dz

ds

ds ’

ds

Les multipliant par la vitesse on retrouve pour les composantes les expressions précédentes

rlx dy il z ilt- . dt ’ dt

On peut remarquer que ^ est la vitesse d’un point qui se

mouvrait sur l’axe des x en ayant toujours la même abscisse que le point dans l’ espace; et il en serait de même

COURS DK MLCAWtQUE.

pour les deux autres composantes. D’où l’on voit que les composantes de la vitesse d’un mobile sont les vitesses de ses projections rectangulaires, ou obliques, sur les trois axes de coordonnées.

195. Déviation . — Considérons un point animéd’un mouvement varié quelconque, et à un instant quelconque menons la tangente à sa trajectoire au point M où il se trouve {fig. 44)- Concevons ensuite qu’à cet instant un second mobile commence à se mouvoir sur la tangente avec la vitesse qu’a le premier en M; et soient M', N les positions simultanées de ces deux points après un temps quelconque : la droite NM' indique de combien le mobile a été dérangé de la position qu’il aurait eue, si sa vitesse était restée constante en grandeur et en direction ; sa considération est très-importante dans l’étude du mouvement, principalement lorsque l’intervalle de temps écoulé entre les positions M, M' est infiniment petit. Nous lui donnerons le nom particulier de déviation. Elle pourra être envisagée sous le rapport tant de la grandeur que de la direction qui sera toujours estimée de N vers M'. Elle sera, par conséquent, entièrement déterminée quand on connaîtra en grandeur et en signe ses trois composantes parallèles aux axes. C’est le calcul que nous allons faire, en supposant que le mouvement soit donné, c'est-à-dire que les coordonnées x , y, z du mobile soient des fonctions connues du temps t.

490. Composantes de la déviation suivant les axes. — Soit 9 un intervalle de temps infiniment petit; les coordonnées de N sur la tangente seront, après ce temps,

<iy

dt

Celles du point M’ sur la trajectoire seront, en les développant par la formule de Taylor, et représentant par tj

STATIQUE

,e les •s de frois

ion * neuve ./ni \i-

gt ;

St

e', s", des quantités infiniment petites,

En retranchant les coordonnées de N de celles de M ou aura en grandeurs et en signes les composantes de la déviation NM'; leurs valeurs sont

yHt*

Les expressions des composantes de la déviation peuvent être simplifiées lorsque 0 est infiniment petit, car on peut alors négliger le second terme qui est infiniment petit, par rapport au premier ; elles se réduisent à

rit 1 2 ’ dl‘ a ’ fit 1 2

et la déviation elle-même devient, en supposant les axes rectangulaires,

197. Direction de la déviation. — On appelle direction de la déviation en un point quelconque M , la limite vers laquelle tend la direction ISM' à mesure queM' tend versM. Les cosinus des angles de NM' avec les axes rectangulaires étant toujours proportionnels aux composantes de WM', et respectivement de mêmes signes, il s’ensuit que la direction de la déviation au point M fait avec les axes des angles dont les cosinus peuvent être représentés proportionnellement en grandeurs et en signes par les trois quantités

tl’x d 7 y d 7 z

~dF ’ ~dF' dn'

Leurs valeurs même s'obtiendraient en divisant ces quantités par

#) ,+ (ÏHf)'

Si le mouvement avait lieu suivant une ligne droite, la déviation serait évidemment dirigée suivant cette même

droite; et, en cfFet, dans ce cas, les quantités -jjji ~jj 7 *

d‘z . .. , dx dr dz

— sont proportionnelles a —> -—■> -j t '

1 98. Accélération dans le mouvement déviatoife . — Nous avons vu qu’en négligeant les quantités d'un ordre supérieur au second , par rapport à 6 , et , par conséquent , infiniment petites par rapport à la déviation NM', la valeur de cette dernière quantité était

Elle croit donc comme l’espace parcouru d'un mouvement uniformément accéléré par un mobile partant du repos , l’accélération étant égale à

VŒMSMS?)’

Ainsi ,en se représentant la déviation comme décrite par le mouvement d’un point, et bornant l'approximation aux quantités du second ordre qui suffisent pour le calcul des accroissements infiniment petits de vitesse, on peut dire que le mouvement déviatoire est uniformément accéléré; et dausee mouvement l'accélération a pour valeur

/fd , x\* ! d 1 >'V / d 7 z \ ’

\/ (w) + \~dF)^\~dF)

En multipliant relie expression par les cosinus des angles formés avec les axes par la direction de la déviation, et

P P» KM 1 K RK ANMEE.

STATIQUE. a ?.3

calculés ci-dessus , ou trouvera pour les composantes de ccttc accélération, en grandeurs et en signes, les trois expressions

7 W\ ~1F' 7te'

199. Remarque. — 11 faut bien remarquer que celte accélération est celle du mouvement déviatoire, au moyen duquel on regarde la déviation comme décrite, et non pas du mouvement lui-même sur la trajectoire. Ce serait trop détourner les mots de leur sens naturel. Nous avons d’abord appelé accélération, l'accroissement de la vitesse dans l’unité de temps, cet accroissement ayant lieu uniformément; nous avons ensuite étendu cette définition au cas d’une variation quelconque, par la considération des infiniment petits : il n’est pas possible d’aller plus loin sans dénaturer celte notion. Si donc on considérait l’accélération dans un mouvement curviligne varié, il serait naturel d'entendre par là

l’accroissement devitesse rapporté à l’unité de temps, ou

ce qui ne serait nullement l’accélération du mouvement déviatoire que nous venons de calculer. C’est pourquoi nous ne désignerons jamais celte dernière sous le nom d’accélération du mouvement sur la trajectoire.

200. Composantes île la déviation suivant la tangente et la normale. — Nous avons vu que les composantes de la déviation suivant les axes avaient pour expressions, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à ces .composantes ,

fi 1 d 1 x O 1 d’y 0’ d’z 2 dt’ ’ 2 dt : ’ 2 dt’

Soient NM' ( fig . 44) l a déviation, M'P la perpendiculaire abaissée de M' sur la tangente en M ; N T P et PM' seront , d’après notre définition , les composantes de NM' . suivant la tangente et la direction PM'.

La composante tangentielle ISP s’obtiendra , en grandeur et en signe , en projetant sur la tangente les trois composantes de NM' suivant les axes. Eu supposant toujours les axes rectangulaires, les cosinus des angles que forme avec eux la direction de la tangente prise dans le sens du mouvement, sont

tlx dy dz ds ' ds 5 ds '

d’où il suit que la composante tangentielle de la déviation aura pour valeur

fi’ dxd' x -+- dyd'y -+- dz d* 1 2 dsdt 1

Mais de l’équation

on tire

dx' -)- dy* -f- dz 1 = ds'

dxd'x -f- dy d'y- 1 - dzd'z = dsd's ;

l’expression précédente devient donc

0 ‘ d's 0 1 dv

ou

2 dt 1 2 dt

Telle est l’expression de la composante tangentielle.

Quant à la seconde composante M'P, on sait que si l’on désigne par R le rayon de courbure de la trajectoire en M , ou aura, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à M'P,