COS X

cos v cos a,— cos a cos y cosp= -

cos a' cos 6 — cos 6' cos a

ros y = - i

le dénominateur devant être pris avec le même signe pour les trois cosinus, qui doivent être dans le même rapport que leurs numérateurs. Quant à la valeur de I)’. elle peut

STATIQUE

sc mettre sous la forme

( cos ! a -+- cos' G -f- cos’ y ) ( cos' a.' cos' 6' -t- cos 1 y') — ( cos a cos a' -4- cos G cos G' -+- cos y cos y' )’ ;

elle est donc égale à

i — cos’ V ou sin ! V,

A étant l’angle des deux droites; on a donc

cos X = zfc — : f cos G' cos y — cos y' cos G ) ,

sm V '

cos u — ± ( cos y' cos a — cos a' cos y ) ,

sin \ ' '

cos v — zt ■ . ‘ , ( cos a' cos G — cos G' cos a ) .

sin V '

On trouve ainsi deux directions opposées; et, en effet, rien jusqu’ici n’a déterminé lequel des deux sens on voulait considérer sur la perpendiculaire.

223. Distinction du sens de la perpendiculaire à deux directions . — Concevons par l’origine deux droites parallèles aux directions déterminées par les angles («oy), («'6'y'); prenons sur la première un point quelconque : ses coordonnées x, y, z seront proportionnelles aux cosinus des angles a, 6, y, et, respectivement, de mêmes signes : par ce point, menons une parallèle à la direction déterminée par les angles a', 6', y', et concevons un point en mouvement sur cette dernière direction. Le rayon vecteur mené de l’origine à ce point partira de la direction (<*Sy) et ira en sc rapprochant de la direction (a'S'y ) qui passe aussi par l’origine.

Supposons maintenant un observateur placé dans la perpendiculaire au plan des deux droites, les pieds appuyés sur ce plan; le mouvement du rayon vecteur lui paraîtra s’exécuter de gauche à droite ou de droite à gauche, suivant qu’il sera placé d’un côté ou de l’autre du plan. Nous i. 17

a58 COURS DE MÉCANIQUE.

avons distingué ces deux sens en appelant direct celui où le mouvement s'effectué de gauche à droite, et rétrograde celui où il s’effectue de droite à gauche; et nous nommons direction de l’arc du plan des deux droites dans lequel s'effectue le mouvement, celle de la perpendiculaire dans le sens pour lequel ce mouvement est direct.

Les valeurs des cosinus des angles X, p, v que fait la perpendiculaire avec les axes de coordonnées sont, d'après la formule précédente, dans laquelle on remplacera cosse, cos 6 , eos y , par x , z ,

cos \ =:

y cos 7' — z cos fi'

z cos a' — x cos y'

cos v =r

x cos 6' — y cos a'

la valeur de p étant

cos 7' — zcos€')’-i- (zcosa ' — x cos y')’-+- (xcosê ' — y cos a')- - ;

de sorte que p n’est autre chose que la perpendiculaire abaissée de l’origine sur la droite menée parle point x, y, z, dans la direction (a. 1 a' y'). 11 ne s’agit plus que de savoir quel est le signe qu’il faut donner à p pour que les angles X, u, v se rapportent à la direction de l’axe du plan, telle que nous l’avons définie. Remarquons d’abord que si dans un plan de direction quelconque, que nous ferons passer, pour plus de simplicité, par l’origine, un rayon vecteur se meut autour de ce dernier point dans un certain sens, et que l’on considère la projection mobile de ce rayon vecteur sur un autre plan; Taxe de ce dernier mouvement sera celui des deux directions de la perpendiculaire à ce nouveau plan qui fera un angle aigu avec la direction de l'axe du premier mouvement.

PREMtinK AKIStE. — STATlyUK. 25<)

Cela posé, considérons d’abord la projection du rayon vecteur sur le plan XY, et désignons par 0 l'angle que sa direction forme avec celle des x positifs, de telle sorte que

l’axe positifdes y corresponde h 0 — Le mouvement sera

direct relativement à Taxe des z positifs, si ù va en croissant; et, dans le cas contraire, il sera direct par rapport à l’axe des z négatifs. Et l'on sait d’ailleurs qu’un angle croit ou décroit toujours en même temps que la valeur algébrique de sa tangente.

Or la projection sur XY du rayon vecteur mené au point (x, y, z) fait avec l’axe des x un angle dont la tangente a

pour expression générale -• Si le point x, y, z s'avance

dans la direction (a 1 6' y') d’une quantité quelconque///, cette tangente devient

y -I- ni cos 6'

x m cos a' ’

son accroissement est donc

m (x cos *>' — y cos a' ) x’ -f- m.r cos *'

et, comme on peut supposer m assez, petit pour que le dénominateur soit positif, le signe de cet accroissement sera le même que celui du numérateur, ou de x cos b' — y cos a'.

Ainsi, la projection du rayon vecteur sur XY aura un mouvement dont Taxe sera l’axe des z positifs, si l’on a

x cos €' — y cos a.' ]> o ;

et, par suite, l’axe du mouvement dans l’espace et l’axe des ■ positifs feront un angle aigu. De même, les projections sur Y’Z auront un mouvement direct par rapport aux

a6o cours ns mécakiquk.

axes des x et des y positifs, si l’on a

y cos y' — * cos ë' o , z cos a' — x cos y' ~y> o.

Dans le cas où une de ces inégalités serait de sens contraire, il serait direct par rapport à l’axe négatif, et l’axe du mouvement ferait un angle obtus avec l’axe positif correspondant.

On voit donc que les cosinus des angles que fait l’axe du mouvement que nous considérons, avec les axes positifs x, y, z , sont de mêmes signes respectivement que les numérateurs des valeurs trouvées précédemment; que, par conséquent, on doit prendre y positivement; ce qui donne les formules suivantes :

, r cos 7' — z cos 6' 1 cos ). =

, . 1 z cos a — x cos 7 '

( 1 ) < cos fl = —

arcosë' — y cos a'

I cos v = -

Si maintenant 011 remplace x , y, z par les quantités proportionnelles, et respectivement de mêmes signes, cos a,

cos b , cos y, on aura

' COS fl =r —

sin V

COS v =

sin V

( cos ê cos y' — cos y cos ë' ) , (cos y cos a' — cos a cos 7' ) , (cos a COS ë' — COS 0 COS a' ) ,

V désignant encore l’angle des deux directions.

Ces formules se rapportent à l’axe du mouvement exécuté dans le plan des deux directions («, 6, y), (a', ë', y')

par un rayon vecteur tournant autour de leur point de rencontre, en partant de la première et sc rapprochant de la seconde. Si l’on faisait une construction analogue , en substituant chacune des deux directions à l'autre, on aurait un mouvement en sens inverse; et, en efl’et, les formules précédentes des cosinus changeraient évidemment de signe sans changer de valeur absolue.

Si les deux directions données étaient rectangulaires, on aurait

I cos X = cos 6 cos 7' — cos 7 cos 6', cos (A = cos 7 cos *' — cos a cos 7', cos v = cos a cos 6' — cos ? cos a'.

22 ü. Si l’on prend, à partir de l’origine, une longueur q sur la direction a', 6', y', on aura , en désignant par x', y', z' les coordonnées de son extrémité,

x'=yeosa', y ' = 7 cos z' = 7 cos 7' ; et les formules (1) deviennent

yz — zy' = pq cos X , zx' — xz' = pq cos ja, xy' — yx' — pq cos v.

Or, d’après cc que représente p, pq est l’aire du parallélogramme construit sur les deux droites menées de l’origine aux points xyz , x' y' z' . Désignant cette aire par P, on donc aura les trois équation? suivantes :

( 4 ) P cos À — y z' — zy 1 , P cos a = zx' — xz', P cos a — xy' — yx',

X, u, v sc rapportant à Taxe de l’aire décrite par un rayon vecteur passant par l’origine et marchant de xyz vers x' y' z' par le plus court chemin. Et, si sur la direction de cet axe on prend une longueur qui représente l’aire P, ces dernières expressions représentent en grandeur et en signe les projections de cette longueur sur les axes des coordonnées.

227. Formules pour la transformation des coordonnées. — Proposons-nous de passer d’un système de coordonnées rectangulaires x, y, z à un système quelconque de coordonnées obliques x',y\ z' ayant même origine; et supposons, comme nous le ferons toujours, que la disposition des axes soit telle que, si un rayon vecteur se meut autour de l’origine dans les trois angles des axes positifs, en partant de l’axe des x, et marchant vers l’axe des y , puis vers celui des z pour revenir à l'axe des x, les directions des axes positifs soient respectivement les axes de ces trois mouvements. Soient a , a\ a" les cosinus des angles que la direction des x' positifs fait avec les directions respectives des x, y , z positifs; ô, b b" les cosinus relatifs à la direction des y' positifs; et c, c', c" ceux qui se rapportent à la direction des z' positifs.

Considérons un point quelconque M ( Jig . 62 ), dont les trois coordonnées x', y\ z' soient représentées par AP, PQ, QM; abaissons MR = x, perpendiculaire surYZ, et joignons RA. Ce polygone fermé étant supposé projeté sur AX , donnera

ax' -H b y' cz — x — o ,

pourvu que les quatre coordonnées x', y', z' , x soient positives. Si l’une quelconque d’entre elles, par exemple y', était négative, le côté du polygone qui doit être pris en valeur absolue serait — y' ; mais, comme il serait alors parcouru dans le sens des y' négatifs, le cosinus qui le multiplie changerait de signe et serait — 1>\ le terme que l’on doit écrire est donc toujours by', et l’équation est générale, eu regardant comme négatives les coordonnées dirigées en sens contraires des axes déterminés par les cosinus donnés.

On trouverait deux autres équations analogues, en considérant les coordonnées j' et z. Les équations générales de

WILMIMK A»tF. — STATIQUE. 2(53

transformation seront donc

I x = ax' 4- by 4 - cz\ y — a' x' + b' y + J z!,

, s = fl"x'-t- r/4-c'V,

«4 l’on aura les conditions nécessaires

si les nouveaux axes étaient rectangulaires, on aurait de plus

i ab -t- a' b' H- a" b" — o, ac -4- a'i J -t- a" c" o, bc 4- b' c' -4- b" c" = o,

de sorte qu’on ne pourrait prendre arbitrairement que trois des neuf quantités «, b, c; a', b', c'; a", b", c".

Les deux systèmes étant rectangulaires, on peut passer dn second au premier par des formules semblables; de sorte que les équations (t), ( 2 ), (3) entraînent les suivantes : *

[ 3/ — ax 4 - «' y 4 - n" z,

( >} | / =zbx-hb'r-hb"z,

( z' = ex -t- c'.) 4- c" z ;

/ aa' -t - bb' 4- re' = 0 ,

(t») | ait' 4- bb" 4- ce" — o,

[ a'u"-h b'b"-hc'c"=o.

Réciproquement, ecs équations entraîneraient les pre-

264 CCftrBS DK MÉCANIQUE.

mièrcs; et les deux systèmes ( 1 ) , ( 2 ), (3) , et (4) > (5), (6) sont, par conséquent, identiques.

Les quantités abc , a'b'c', a" b" c" satisfont à d’autres relations importantes, qui pourraient se Réduire des précédentes, en laissant d’abord une ambiguïté qu’on ne fait disparaître qu’avec un peu de peine. Nous allons montrer comment ou peut les obtenir d’une manière beaucoup plus simple, et sans aucune incertitude sur les signes.

Nous remarquerons d’abord qu’il y a deux suppositions à faire sur l’ordre des axes positifs des deux systèmes de coordonnées, qui sont désignés par les mêmes lettres. S’ils sont dans le même ordre, on pourra faire coïncider les directions des x',y', z' respectivement avec celles des x , y, z positifs. S'ils sont en ordre inverse, lorsque les directions des x' et des y' seront amenées à coïncider avec celles des x et des y positifs, les directions des z' et des z positifs seront directement opposées.

L’axe des x' étant perpendiculaire au plan des axes des r'el des z', les angles qu’il fait avec les trois axes des x, y, z se détermineront d’après les formules (3) du n° 22a 5 il faudra d’ailleurs s’assurer si les axes des x', y ', z' sont dans le même ordre qne les premiers. Dans cette hypothèse, l’axe des x' positifs est l’axe relatif au mouvement d’un rayon vecteur partant de AY' et se rapprochant de AZ' ; les angles a, S, y des formules ( 3 ) se rapportent donc à AY', et ont pour cosinus b, b ', a', ë', se rapportent

à AZ', et leurs cosinus sont c, c', c" \ ce serait l inverse si 1 ordre des trois axes était inverse.

Si donc on remplace, dans les formules (3), cos À, cosp, cosv, para, a', a", on aura, dans l’hypothèse d’une disposition semblable dans les deux systèmes d’axes,

a = b' c” — c' b", a = cb" — bc", a' = bc' — cb\

— statique. aG5

et, dans le cas d’une disposition inverse,

il = c' b" — b' c " , a' — bc" — cb" , a" — cb' — bc' ,

équations qui ne dillércnt des premières que par le changement de signe des seconds membres.

En agissant dp la même manière pour les axes des y' cl des z', on aura des équations semblables; de sorte que les neuf quantités abc, a' b' c' , a" b" c" sont liées par les rela- ' tions suivantes, dans le cas où la disposition des deux systèmes d'axes est la même :

I a = b' c" — c' b", a' — cb" — bc" , a" — bc 1 — cb',

b = c' a" — a' c", b' = ac" — ca" , b" = ca' — eu/,

c — a' b" — b' a”, </ = ba" — ab", c " = ab' — ba'.

Dans le cas où la disposition des axes serait inverse, il faudrait changer les signes des seconds membres de ces neuf équations.

228. Les nouveaux axes x', y z', au lieu d’être déterminés par neuf quantités entre lesquelles il existe six relations, pourraient l’être par trois seulement, et nous allons faire connaître les formules données à cet effet par Euler.

Nous supposerons que les nouveaux axes aient la même disposition que les premiers, et nous les déterminerons en donnant l’angle ÿ (fitf. 53) que forme avec l’axe des x positifs la trace AR du plan Y' X' sur XY ; l’angle Q que forme le plan X' Y' avec XY, qui est aussi celui des axes AZ, AZ'; et enfin l’angle ç que forme AX' avec Ail; mais il est essentiel d’indiquer avec précision le sens dans lequel chacun de ces angles est estimé.

Nous compterons l’angle ÿ dans le sens du mouvement direct de AX vers AY,’el il pourra varier de o à 2 7t; mais à laquelle des deux directions opposées AR, Ail' se rapportera-l-il? Pour la déterminer, concevons un mouvement

266 COURS DK MKCSSIQUE.

direct autour de AZ qui amène AX en AR et AY en A Y puis un mouvement direct autour de A R qui amène AZ à coïncider avec AZ', ce qui aura lieu, ou lorsque le système aura tourné de l’angle 0 , qu’on supposera toujours moindre que tt , ou lorsqu’il aura tourné de 271 — 0 ; or il n’y a qu’une des deux directions AR, AR' pour laquelle l’angle de rotation soit 0 , et c’est celle-là que nous choisissons pour la détermination de l’angle tp.

On voit, d’après cela, qu’on passerait des premiers axes aux nouveaux, en faisant tourner, dans le sens direct, le système des premiers d’un angle <p autour de AZ ; les faisant tourner ensuite d’un angle 0 autour de A 11 , et enfin d’un angle o autour de AZ'. Après le premier mouvement, les axes seront dans la position AR, AY',, AZ, et nous désignerons par x,, y,, z les coordonnées comptées sur leurs directions. Après ce second mouvement, ils ont la position AR, AY,, AZ', et nous désignerons par x,,y,, s ' les coordonnées correspondantes. Knlin , après le troisième mouvement, ils coïncideront avec les axes AX', AY ', AZ', pour lesquels les coordonnées sont x',y', z'.

Nous pourrons ainsi passer des premiers axes aux nouveaux au moyen de trois transformations dans lesquelles un axe étant immobile, on n’a besoin de faire usage que de la transformation des coordonnées dans un plan.

Or on sait que, pour passer d’un système de coordonnées 1 ectangulaiscs «, e à un système rectangulaire «', v' semblablement disposé, c’est-à-dire tel , que quand la direction des u positifs coïncide avec celle des u positifs, il en soit de même des directions des e et v' positifs, on a les «leux formules

« = 11' cos a — v sin a ,

e = «' sin a «>' cos a ,

a désignant 1 angle dont il faut faire tourner l’axe des 11

* PREMIÈRE ANNÉE. STATIyüE. a6^

dans le sens de u vers v pour qu'il coïncide avec l’axe des u positifs. Ces formules varieraient dans les signes si la disposition des axes était inverse. D’après cela, on aura les équations suivantes :

x=x,cosi{< — jri sin -j», /,=/,cosO— a'sinS, x l =.r'cos< j > — ^siny, y~X \ sin 4 H-j'iCosij», 2 =/,sin 0-t-:'cos0, y,=:x'sinf-(-/'cosp.

Eliminant les intermédiaires x t ,j u y,, on obtient les formules cherchées :

( x =zx' (cos ip cos t}i — sin y sin 4 cos 0 )

-+- y ( — sin <f cos 4 — sin \ cos <y cos 0 ) -h z' sin sin 8 , y = x ' (cos f sin 4 -1- sin ? cos 4 cos 8)

-+- y' ( — sin y sin } -h cos iji cos ? cos 8) — r' cos 4 sin 8 , î = x' sin 0 sin p -( - y cos y sin 8 -+- 2' cos 6.

La comparaison des formules (1) et (8) conduit aux équations suivantes, qui ont la même généralité que celles d’où on les déduit :

a = — sin <p sin ÿ cos 8 -f- cos f cos 1(1 , b — — cos f sin i|» cos 6 — sin ® cos ■} , c = sin 8 sin 4» >

a' ss sin tf cos 4 cos 8 -t- cos y sin •{< , b' — cos f cos 4 cos 8 — sin y sin 4 1 c' = — sin 8 cos 4 » ;

a" — sin 8 sin y, b" = sin 6 cos <f, c" = cos 8.

Ces équations entraînent les suivantes, qu’il est bon de noter :

tang tang 4 = —

Du mouvement infiniment petit d'un système rigide.

229. En diiTérentiant les équations ( 1 ) du n° 214 par rapport à f, et supposant x\ y', z' constants, on obtient

dx de da , db

di = li +X df +Jr dï

dz dt ''

di\

, da' , db'

.da"

db"

dt dt

,dc " dt'

* Tt'

“ dt

Ce sont les valeurs des composantes parallèles X, Y, L de la vitesse d’un point quelconque du système ayant pour coordonnées invariables x\ y' , z ' par rapport aux axes

On 1 es obtiendrait en divisant les équations ( 2 ) du même numéro par A t, et passant à la limite des rapports lorsque A t tend vers zéro.

230. Composantes de la vitesse dans le sens îles axes mobdes. — En multipliant les seconds membres des équations ( 1 ), respectivement para, a', a ", et les ajoutant, on aura la composante de la vitesse dans le sens des x'-, on aura , de même, les composantes dans le sens des y 1 et des z 1 . Désiguons-les par «, e, ie, et soient /t, t, l les composantes de la vitesse de l’origine mobile, suivant ces mêmes directions; c’est-à-dire posons

dé dn

" Tt= h '

t , n ctl> , t," {lx > b — — V- b — — b — = 1,

dt dt dt

dZ , fl r, dt,

PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. J.6t)

nous trouverons

I « = /* -t— qz' — ry', v = I -f- rxf — pz' ,

p. q, /'étant donnés par les équations

pdt = cdb -+- c’ db' ■+■ c" db", qdt— ade + a dd -4- a" de", rdt — btla -t- b'da -4- b" da" ,

Les premiers termes h, i, k sont les composantes de la vitesse du mouvement commun de translation ; de sorte que les composantes dues au mouvement de rotation autour de l’origine supposée immobile, sont

qz' — r y, ry - pz', py' — qx' .

2.‘11 . Axe instantané de rotation. — Les [joints dont la vitesse est nulle dans le mouvement autour de l’origine supposée fixe, seront donnés par les trois équations suivantes, qui se réduisent à deux :

(4) qz' — ry' — o, rx — pz'=o, py'—qx' — o.

Ils forment une droite qui passe par l'origine, et qui fait avec les axes y ' , z' des angles dont les cosinus sont

\!p 2 -4- q‘ -4- r‘ \>p' 4- 7‘4- r* vV’ ■+■ q 7 ■+• r’

les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris ensemble.

On la nomme nm instantané de rotation , parce qu’on peut supposer que le mouvement s’ellectue autour d’elle pendant un temps infiniment petit ; les erreurs qui en résultent n’étant que des infiniment petits du second ordre, pour les points situés à une distance finie de cet axe.

11 résulte du là que tout mouvement infiniment petit autour d'un point fixe peut être considéré comme ayant lieu autour d'un axe passant par ce point.

Et, par conséquent,

Tout mouvement infiniment petit d’un corps peut être considéré comme résultant d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe.

232. Expression de la vitesse angulaire. — Dans rc mouvement autour d’un axe fixe, la vitesse angulaire est égale à la vitesse d’un point quelconque, divisé par la distance de ce point à l’axe. Si l’on choisit à cet effet le point situé sur l’axe s 1 à la distance i de l’origine, ses coordonnées seront

les composantes de sa vitesse , parallèlement à ces axes, seront, d’après les formules précédentes , 17 , — p. o; sa vitesse sera donc V/>*- ♦— V* - Sa distance à l’axe sera le sinus de

l’angle de cet axe et de l’axe s', ou

vitesse angulaire o> aura pour valeur

\fi -4- V -f- r»

Donc la

233. Sens de la rotation. — Il reste à déterminer le sens de la rotation du système, ou, ce qui est la même chose, le sens de la rotation qui s’effectue dans un plan quelconque perpendiculaire à l’axe. Il suffit, pour cela, de reconnaître si la direction de l’axe de cette rotation correspond aux signes supérieurs ou aux signes inférieurs des expressions (5). Nous considérerons, à cet effet, le plan mené par l’origine perpendiculairement à l’axe, et nous allons chercher la direction de Taxe de la rotation effectuée dans ce plan par la droite menée de l’origine à l’un qucl-

CRÉMIÈRE ANNÉE

STATIQUE

conque des points de ce plan, ayant pour coordonnées x'y'z'. Ce point, à partir d’une quelconque de ses positions, se meut dans la direction de sa vitesse, qui fait avec les axes X'Y'Z' «les angles dont les cosinus sont proportionnels à u, e, «e; de sorte que, pour avoir l’axe de la rolion du rayon mené de l’origine à ce point, il suffit «le recourir aux formules ( 2 ) du n" 223, en remplaçant la «lirection (ac y) par celle du rayon, et la direction (a. 1 S'y') par celle de la vitesse. D’où il suit «jue les cosinus des angles que fait la direction de l’axe de la rotatiou avec celles d«*s x', y', z' seront de mômes signes que les expressions

jr' iv — z' (>, z' u — x' x'v — y u ;

et il n’y a plus qu’à reconnaître si les signes de ces expressions sont les mêmes «jue ceux de p, (f , /•, ou contraires.

ftous prendrons, pour plus de simplicité, s'= o; d’où résulte

11 = — ry‘ , c = rx? ;

et la troisième expression devient

Elle est donc de môme signe que r; et, par conséquent, ce sont les signes supérieurs qui doivent être pris dans les expressions (5).

Ainsi les cosinus des angles formés avec l«*s axes X'Y'Z', par la direction de l’axe de rotation, sont en grandeur et eu signes

si?

\p* -4- q z -H r* sp* -4- q 1 -f- r 7

En multipliant la vitesse angulaire y'p’-t- //*-+- /'* par ces trois cosinus, on aura ses composai! tes suivant les axes

X', Y', Z. Leurs valeurs en grandeur et en signes seront donc

234. Axe instantané de glissement et de rotation. — La proposition établie dans le 11 0 219 ayant lieu pour tout mouvement du corps, aura lieu lorsque ce mouvement sera infiniment petit; et l’on retrouve cette proposition, démontrée d’abord géométriquement :

Tout mouvement infiniment petit d'un corps peut dire produit par un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, suivi ou précédé d’un mouvement commun de glissement le long du même axe.

Cet axe instantané de glissement et de rotation peut encore être envisagé autrement. En substituant, comme nous l’avons déjà dit , aux espaces infiniment petits parcourus par les points du système dans un même temps, les vitesses mêmes de ces points, on a l’énoncé suivant :

Les vitesses de tous les points d’un corps à un instant quelconque peuvent être considérées comme résultant île la composition de vitesses égales et parallèles à une même droite , et des vitesses qu auraient ces points dans un certain mouvement, de rotation autour d’un axe parallèle à cette même droite.

La composante parallèle à l’axe n’est autre chose que la projection de la vitesse de l’origine mobile sur l’axe; la vitesse angulaire du mouvement de rotation est ^p'-t- q i -h r*; et la direction de cet axe est celle qui fait avec les axes des x' ,y', z' des angles dont les cosinus sont proportionnels à p. q, r et de mêmes signes que ces quantités.

23o. Équations de l’axe instantané de glissement et de rotation. — Les équations de l’axe de glissement et de rotation données, dans le n° 222. pour un mouvement fini quelconque, se changeront dans les équations clier-

PREMIÈRE USINÉE. — STATIQUE. 2^3

chées en divisant les deux membres par A t et passant aux limites. Les quantités p, q, r se cliangeront en celles que nous désignons actuellement par ces mêmes lettres; h, i , À deviendront les composantes de la vitesse de l’origine dans le sens des axes X', Y', Z', que nous représentons encore par ces mêmes lettres; enfin, u, qui représentait le déplacement de l’origine estimé dans le sens de Taxe, deviendra la vitesse de cette origine estimée suivant cette même direction ou la vitesse de glissement. INous la désignerons par la même lettre, et par u', u", y'" ses composantes suivant les axes X', Y', Z', [.es équations de l’axe instantané de glissement et de rotation seront donc, par rapport aux axes mobiles ,

/ qz' — rÿ — v' — h,

( py' — qx' “ u”' — te.

On aurait les équations de cet axe par rapport aux axes fixes en substituant à x\ y\ z' leuVs valeurs en x, y, z. L’axe est ainsi déterminé à chaque instant par rapport an corps et à la position absolue, en supposant que les quantités £ , b , c, a', etc., soient des fonctions données

du temps.

L’équation de la surface, lien de ces axes par rapport au corps, s’obtiendrait en éliminant le temps entre les trois équations de l’axe en x', y z', et les équations de la surface, lieu de ces axes dans l’espace, s’obtiendraient en éliminant le temps entre les trois équations de l’axe en x , y, z.

236. Déplacement virtuel d'un corps solide. Équations d'équilibre. — Les formules (3) du n'’ 230, qui expriment les composantes de la vitesse d’un point quelconque d'un corps solide en mouvement, donnent immédiatement les composantes des vitesses virtuelles des divers points de ce corps; et l’application du principe général de la statique

27 > COURS I)F. MKCANIQUK.

fora connaître les équations necessaires et suffisantes pour l’équilibre <lo forces appliquées à un corps solide entièrement libre. En effet, lorsqu’un système rigide passe d’une position donnée à une autre infiniment voisine, tous les points peuvent être considérés comme décrivant des droites infiniment petites d’un mouvement uniforme et avec des vitesses proportionnelles aux longueurs de ces droites, que l'on a nommées, pour celte raison, vitesses virtuelles. Les composantes de ccs vitesses virtuelles, ou de ces déplacements virtuels, sont donc les produits du temps 0 employé à les parcourir par les composantes de la vitesse données par les formules (il). La somme des moments virtuels des forces ayant pour composantes (X, Y, Z, X', Y', Z', etc.), sera donc

02 [X(/; -I- qz ' — Y(i •+■ rx' — fiz') -+• Z (A -+- p / — çx')].

Or, pour qu’il y ait équilibre , il faut, d’après le principe des vitesses virtuelles, que cette somme divisée par 0 soit nulle, quel que soit le déplacement; c’est-à-dire quelles que soient les six quantités //, /, h , />, y, r, puisque l’on suppose le corps entièrement libre. 11 est donc nécessaire et suffisant que les coefficients de chacune de ces indéterminées soient nuis, ce qui donne les équations

ïX = o, ïY = o, I Z = o ;

On peut supposer les axes des x\ r', z' placés d’une manière quelconque dans l’espace. On peut donc les faire se confondre avec les axes donnés des x , y, z. I.es trois dernières équations deviennent alors

ï(.rZ — sY) = o, :(!X-iZ)=o, 2(xY-yX) = o.

On retrouve ainsi les six équations déjà démontrées n" ’>0 (*) .

(*) On peul consulter, sur le mouvement géométrique d’un corps solide, iia Mémoire assez étendu do M. O. Rodriguez, postérieur à celui de M. Poinsot {voyez le Journal de M. Liouville, tome V ).