rA.r 4 - d ly 4- c" Aijcosv

et il faut déterminer cos X, cos p, cos v de telle, sorte, que cette quantité soit constante, quelles que soient les valeurs données aux quantités .r', y' . z' . Or il est nécessaire et suf-

lisant pour cela que les coefficients de ces trois variables indépendantes, dans l'expression ci-dessus, soient nuis quand ou y remplacera Ax, Ay, A z par leurs valeurs données par les équations (a). On trouve ainsi les trois équations

{alu + a' la' +a" la") cos\ 4-(ÔAfl -f- b‘ la’-^-b" la”) cosj* + (rAn + c'An’ + r”An") cos v = o,

; , I {alb-+- a’lb'+a"lb")cos'k + (blb-\-b'lb'-^- b"lb")cosa 1 1 1 ' -J- pFA b 4- d 1 b' -H tf 1 b" ) cos v = o ,

[a le -f- (i'Ac'+ a" le") cos \ -t- (b le 4- b'lc'-i- b" le") cos y 4-(cAr -4- c' le' 4 - c" le") cos v = o.

Ces équations déterminent les rapports des trois quantités cos X , cos p, cos v. Or il est facile de voir que ces rapports sont précisément ceux des quantités />, q, r; car, si l’on remplace les premières par les secondes dans les .dernières équations, elles deviennent des identités en vertu des équations (i a). Donc la direction unique déterminée par les équations ( 14 ) coïncide avec celle de l'axe de rotation; ce qu’il s'agissait de vérifier.

Tous les déplacements ayant des projections égales sur l’axe, il s'ensuit que des déplacements faisant avec l’axe des angles égaux différents d’un angle droit sont égaux, et réciproquement. Cette condition renferme le cas de déplacements parallèles.

222. Équations de l’axe de rotation et de glissement. — Les points de cet axe se distinguent de tous les autres par cette propriété, que leurs déplacements sont parallèles à la direction de relie même ligne. Or les cosinus des angles que fait avec les axes XYZ la direction du déplacement d’un point quelconque, sont proportionnels à Ar, A y, A r; et ceux des angles que fait l'axe de rotation avec ces mêmes axes sont proportionnels à

np 4- lu/ 4 tiv, a' p -f- b' q 4- e' r, d p 4- b " </ -f- c" r.

PREMIÈRE. ANNÉE. — STATIQUE. a53

Les points île l'axe cherché sont donc déterminés par les équations

. 3\ A* Ajr __ As

ap •+■ bq ■+■ cr a' p b'q + c'r a" p - 4 - b" q -4- c" r'

et si L’on y remplace A.r, A y, A z par leurs valeurs données par les équations (2), on aura deux équations du premier degré entre x\ y\ s', et les données, qui représenteront la droite cherchée rapportée aux axes X' Y'Z\ Nous allons réduire ces équations à l’expression la plus simple; pour cela , nous commencerons par mettre les précédentes sous cette forme,

(n + Ÿ Aa) A.r («' 4-j Aa'^A/

(a ■+■ j Xa) \up -f bq + cr) (a' -t- \ A a') {a' p -4- b' q c' r)

K Art") As

— (a n + {ïa"){a' r p '+ b” q + c" r)

En ajoutant les numérateurs entre eux ainsi que les dénominateurs, oiraura encore une fraction égale. La somme des dénominateurs, en vertu des équations (12) se réduira à p. La somme des numérateurs sera, d’après les équations (2), h -f- qz ' — ry\ en posant

(a -4- - 5 - Aa) A; -t- {(? -t- \ Art') A« [a" -H -j- \a" ) AÇ = //.

Les fractions (i 3 ) sont donc égales à — ~~~

En faisant relativement aux lettres b et c des calculs analogues à ceux que nous venons de faire relativement à «, on trouvera que les fractions (i 3 ) sont égales aux nouvelles expressions

i - 4 - rx' ■

■ pz

les quantités /* , i, k étant déterminées par les équations

COURS UK MÉCANIQUF.

suivantes :

h — {a 4- j Art) AÇ (d -+- \ Aa') 4- («" 4- 7 *«") a;, i — (A 4- ÿ A è ) AÇ -f- (è , 4 - 7A//)A>j "H (è f/ 4~ 7 A è ) A£ , i = (c + iic) i{+(c' + iic')i,+((" -4-7*0 *?•

Les équations de l’axe seront donc

h -f- O — rr' » -f rx' — ps' / -+- py’ 4- qx'

Ces fractions sont égales à celle que l’on obtiendrait en multipliant les deux termes de la première par p, de la seconde par t/, de la troisième par r, et ajoutant termes à termes ces nouvelles fractions; ce qui donne

p/l H- qi 4- rk

Or, d’apYcs les valeurs de h > i , k, on trouve, en tenant compte des équations ( 1 1 ) ,

ph 4- qi 4- rk = (ap 4- bq 4- cr)Aç 4- (dp 4- b' q 4- c’r) Au 4- («"/> 4 6"</ 4- c" r) AÇ. ' '

Mais le second membre de celte équation, divisé par \ip* 4- f/* 4- r’, serait la projection du déplacement de l’origine sur la direction de l’axe de rotation. Si donc on désigne cette projection constante par y, on aura

p/i 4- qi 4- rk = y \jp> 4- q 1 4- 4.

Les équations des projections de l’axe sur les trois plans coordonnés X' Y' Z' seront donc

h 4- q z' — rÿ i 4- rx' — pz . A 4- py' — qx’ y

ou enfin

STATIQUE

qz' — ry' — m — === J === — — h y y p* -4- ? 3 H- r 5

rx — p z = y -- ■■ ■ - — / ,

223. Si, dans tous les calculs précédents on suppose les déplacements infiniment petits et exécutés dans un temps A< tendant vers zéro, tous les accroissements tendront aussi vers zéro, et les équations que nous avons obtenues donneront des relations entre les limites des rapports des accroissements des variables ou entre leurs différentielles. On les déduira des premières en négligeant les inûnimont petits du second ordre, et changeant la caractéristique A en d. Mais pour que l’homogénéité soit en évidence, p, q , r devenant des quantités infiniment petites, nous les remplacerons, dans les formules précédentes, par pdt , qdt , rdt. Au reste, les équations que nous allons obtenir pourraient être déduites directement des équations (i) par des différentiations et des cafeuls analogues à ceux que nous avons faits dans le cas des déplacements finis. Les déplacements et leurs composantes Ax, A y, A z, étant divisés par A 7, donneront à la limite les vitesses et les composantes des vi-

dx dr dz , . , , , i

tesses — -, — » — : et, comme les vitesses et les déplacent dt dt ’ ’ r

menls se composent et se décomposent suivant les mêmes règles, on voit sans peine que toutes les propositions trouvées sur les déplacements, étant considérées à la limite, fourniront des propositions analogues sur les vitesses des points du système. Nous allons examiner rapidement ces diverses propositions; mais, auparavant, nous croyons devoir rappeler quelques formules élémentaires que nous

2 5b COURS T) F. MÉCANIQUE.

pourrions regarder comme connues, mais dont il importe de fixer le sens avec précision.

Révision de quelques formules élémentaires de géométrie analytique.

22 i. Angles formés avec les axes par une droite perpendiculaire sur deux autres. — Soient (aoy ) , (a' é' y') les angles formés par les directions des droites données avec les axes positifs des x, y, z; et 1, p, v les angles que forme avec ces mêmes axes la direction de la perpendiculaire; on aura les deux conditions

ros a cos X + cos 6 cos p -t- cos y cos v = o , cos a'cosX -p cos 6' cos p -1- cos y' cos v = o.

Ces deux équations déterminent les rapports des trois co- ■ sinus inconnus, et donnent

cos X : cos p : cos v : ; cos €' cos y — cos y' cos 6

; cos y' cos a — cos y cos y : cos a' cos fi — cos fi' cos a ;

et comme la somme des carrés des trois cosinus est égale à l’unité, on aura, en posant d’abord

( cos S' cos y — cos y' cos 6 )’ + ( cos y ' cos a — cos a' cos y )'■ . -t- (cos a' cos fi — cos 8' cos a )’ = D 1 ,

cos fi' cos y — cos y' cos 6

“rED ’