Si maintenant on considère un point dont la masse
soit 7/1, la force qui le sollicite sera mesurée par ru — *
puisque le point qui aurait le même mouvement et une
masse égale à l'unité serait sollicité par la force — , et
que nous avons vu que dans des mouvements identiques les forces sont entre elles comme les masses.
On est convenu d'appeler force motrice, celle qui est appliquée à une masse donnée quelconque ; sa mesure est
dv d 7 x
tu — î ou . ni *,
et l'on appelle force accélératrice celle qui , dans le mouvement que l’on considère, sollicite l’unité de masse : elle a pour mesure
r/c il 1 x
— , OU — — • lit lit 1
Celle expression , considérée dans le mouvement en luimême , en mesure Y accélération positive ou négative.
Usage des formules générales du mouvement varié. 207. Ces formules sont
<lx lit’ (V JT
"=7ü’ ?= h = -dr>'
ou encore, eu remettant pour dt sa valeur tirée de la première,
Examinons les différentes questions auxquelles elles peu- vent donner lieu.
i°. Supposons que l’on donne x=F(f), on obtiendra l’expression de la vitesse et de la force par de simples différentiations par rapport à t.
2 °. Soit e= F (<), ou aura
de rf.F(r).
7 — dt dt
on connaîtra donc la force accélératrice.
On connaîtra la position du point à chaque instant en
intégrant 1 équation — F (<)', qui donne x = J F (t) dt.
La constante relative à cette intégration se déterminera par la position initiale du point.
3°. Soit = F (<).
On connaîtra la vitesse par la formule
v =f¥(t)dt,
et l’on déterminera la constante d’après la valeur initiale de v. Soit ainsi e —f (<) ; on aura la valeur de x au moyen de la formule suivante :
x = f/(t)dt,
et la constante introduite par celte nouvelle intégration dépendra delà position initiale du point.
4". Soit t'ssF(x), on en conclura
dx C dx
dt V ” J F(x)'
la constante se déterminera d'après la position initiale du point, et l’on aura ainsi une équation finie entre x et t.
La force <p ou ~ sera égale à F' (x) F (x).
5°. Soit f = F (x) ; si l’on remplace î> par on aura
l>dl>
-j- =F(x); d’où vdv zzr F (x) dx ,
et, en intégrant,
a/’F (x) dx —
Un parviendrait encore à ce résultat en remplaçant y par
: on aurait alors de 1
dx
Si l’on multiplie les deux membres par a — ,
il vient
dx f/’x dt dO
dx
lit'
et les deux membres de cette équation sont des dérivées, par rapport à t, le premier, de | » et le second, de
a / F (x) dx ; on aura donc
(sr) = *ff f [ x )te = »',
ce qui n’est autre chose que l'équation précédemment obtenue.
La constante renfermée dans J sc détermine par les valeurs initiales de x et v. On connaît ainsi la vitesse en un point quelconque du mouvement, et il reste à trouver une équation entre x et t. Désignons i f F (#) dx par j (x) ; nous aurons
et la constante sera déterminée par la valeur initiale de x. 6°. Soit enfin <p = F (v), on aura alors
dv (* dv
Â=FH doù , = Jf(7) ;
la constante se déterminera par la valeur initiale de v.
Si l’on peut résoudre cette dernière équation par rapport à v , on aura
d ’ où x — J f{t) de.
vdv
Dans le cas contraire, on remplacera <j> par — jet l’on aura ■ = F (p), d’où x =
vdv
dx
Si l’on peut effectuer cette intégration, on aura une équation finie entre v et x ; et comme on en a déjà une entre t et e, l’élimination de v en fera connaître une autre en x et t.
Telles sont les différentes questions auxquelles peuvent donner lieu les équations du mouvement rectiligne varié. Leur solution dépend toujours ou de différentiations, ou d’intégrations du genre des quadratures. Mous allons en faire l’application à quelques exemples.
Mouvement d’un point matériel pesant dans un milieu résistant.
268. La théorie admise sur la résistance des milieux est encore assez imparfaite; mais ici nous regarderons comme exacts les résultats approchés, auxquels des expériences multipliées ont conduit sur cette matière.
Ainsi , nous supposerons que celte résistance est une force normale aux surfaces en chacun de leurs points, proportionnelle au carré de la vitesse relative de ce point et du milieu, estimé dans le sens de la normale, ainsi qu’à la densité du lluide. Il suit de là que la résistance exercée sur une sphère en mouvement est directement opposée au mouvement de son centre, et proportionnelle au carré de son rayon. Si on la divise par la masse de la sphère, on aura la force qui en résulte pour l’unité de masse.
Soient p la densité du lluide, que nous supposerons en repos, D celle de la sphère, r son rayon, v sa vitesse; la
résistance appliquée à l'unité de masse sera y -, y désignant un coefficient constant. Pour plus de commodité dans nos calculs , nous rapporterons cette force à la pesanteur, et nous désignerons par K la vitesse qu’il faudrait supposer à la sphère donnée , pour que la résistance qu’elle éprouve devint égale à son poids, c’est-à-dire pour que l’on
eut y = g. Alors la résistance appliquée à l'unité de
masse sera cl c'est sous celte forme, où l’homogénéité
est mise en évidence, que nous l'emploierons dans les calculs qui vont suivre.
269. Mouvement descendant . — SNous commencerons par le cas où le point matériel se meut dans le sens de la pesanteur. Soient A (/ ig . 58) le point de départ, et X la
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 3 l 5
distance du mobile à ce point après un temps quelconque t , au bout duquel il a acquis la vitesse u. En désignant par ç> la force accélératrice, on aura
«■— = — ( K : — pM = — ° K’ K ’ 1 1 ilt
du
d’où
et, intégrant,
de
dt = —
dv
^ious ti ajouterons pas de constante, parce que nous suppo sons que la vitesse soit nulle au point de départ.
On tirera de là
d’où
Çf
et , par suite,
dx
~7‘ ~ dî ’
ef
K K , / g ff\
.r devant être nul en meme que l , on doit avoir
d’où résulte
3lf> COURS OP. MPCsSIQUE.
On a donc ainsi à chaque instant la position et la vitesse du mobile; ce qui forme la solution complète de la question. On aurait pu exprimer x en fonction de e, en remplaçant o
vdv . . , ,
par — » ce qui aurait donne
vdv
dx
S-, MK.’-*’),
K. ! f vdv
et comme on a à la fois v = o , x — o , il en résultera
et, par suite,
La valeur de e eu fonction de t montre qu'elle est toujours plus petite que K, mais qu'elle tend vers cette limite
