SV

à mesure que t augmente, parce que l’exponentielle c K tend vers zéro. Le mouvement tend donc à devenir uniforme, et la vitesse a pour limite celle qui rend la force accélératrice égale à la force retardatrice. Cet état n’a jamais lieu rigoureusement; mais le mobile s’en approche

indéfiniment, et d'autantplus rapidement, quec ^ décroit plus vite, ou que K est plus petit. Or, nous avons trouvé

donc le mouvement devient sensiblement uniforme, d’autant plus promptement et avec une vitesse d autant moindre,

STATlyllK.

MlKMli.RB ANAKR. —

que le milieu est plus dense , et que le mobile a un moindre rayon et une moindre densité; ce qui est confirmé par l'expérience.

270. Si la densité du milieu est supposée nulle , le mobile n’est plus soumis qu’à l'action de la pesanteur, la quantité K devient infinie , et l’on trouve, en supposant qu’on ait à la fois f = o , e = o , .r = o ,

dv , dx

, = g = 7f , do» ' =

et , par suite,

st-

x ~ - — , et r J = 2 sx.

Ces diverses formules, déjà obtenues précédemment, peuvent se déduire des précédentes en y faisant K infini. En ell’ct , si on développe les exponentielles, l’équation (i)

donne, en supposant ^-=o, v=gt\ l’équation (3),

qu’on peut mettre sous la forme

donne , en. développant le logarithme ,

supprimant le facteur commun K’ et faisant ensuite K infini, ou obtient

X — , OU V , = 2 SX.

271. Mouvement ascendant. — Soit A {fi g. Dp) le point d’où part le mobile : prenons toujours la direction AX dé la pesanteur pour le sens des x positifs , cl soit — a la \i-

3 l 8 COURS lit MÜCAÎIIQUK.

tesse du mobile au moment du départ; on aura

d’où

dt ~ S + 8 K' ~ K’

K’ dv g 7 ’ e’-t-K»’

et intégrant , en observant que l’on a eu même temps t — o , v — — a,

st v a Kt> + Ka

— = arc tang — -t- arc tang — - = arc tang — ,

K. K. K K. J — va

d’où

et, par suite.

Ki' -t- Ko st

~kF—-~mT ~ ,an ® K ’

d’où l’on déduit

„ . g 1 gt

Sltl K a C ° S K dx

a sin — -f- kcos?-

. St „ st I a sin - — t- K cos 2- K K.

— — I . ( a sin ^ -t- K cos — ] -f- C.

La constante doit être telle que Ptjji ait à la fois t = o, x = o , ce qui donne \

■— L ( — sin |r -+■

ÎV

Le problème est donc entièrement résolu, puisque, pour toutp valeur de/, on peut assigner la position et la vitesse du point, et, par suite, la force qui le sollicite.

PHKMU.KK ANNÉE. — STATIQUE. 3 1 ij

Le mobile cessera de monter quand v sera devenu nul : la force sera g à cel instant et le fera descendre ; mais alors la résistance changera de sens et on retombe dans le premier cas. La valeur 9 de t correspondante à cet instant est donnée par l’équation

• li 9 s9 s9 a

K sin a uos ~ = o , d où tang‘— = — -■

La valeur de x devient

C’est la distance de l’origine A au point le plus élevé B.. A partir de ce point, le mouvement peut être déterminé par les formules relatives au premier cas, si l’on prend ce poinr pour origine. Cherchons quelle vitesse aura le mobile quand il repassera en A, et quel temps il mettra à y revenir.

Égalons pour cela la distance AB ou ^ É A la

valeur de x donnée par la formule (-3 ), il en résultera

Le mobile revient donc en A avec une vitesse moindre que celle qu’il avait au moment du départ, et d’autant moindre que K est plus petit.

Pour connaître la valeur 0 de t relative à cet instant, il faut dans l’équation ( 2 ) substituer à x la valeur particulière

H l’on ;

3ao

d’où

COURS l>R MECANIQUE.

ou , en posant e

«JL

gt>'

Cette équation étant réciproque donnera à la fois e K

et e ; on aura , en prenant la plus grande racine,

e = K i doù •=-!. K ;

et le temps total écoulé entre le départ et le retour aura pour valeur