ltemarq ue relative aux solutions singulières

L’équation différentielle du mouvement d’un point, jointe aux circonstances initiales, détermine complètement le mouvement de ce point pendant un temps indéfini. Mais quand on intègre cette équation, il faut avoir soin de n’omettre aucune de scs solutions, et tenir compte aussi bien de celles qu ’011 appelle singulières, que de celle qu’on désigne sous le nom A' intégrale generale. Le problème suivant donnera un exemple d'un mouvement qui est repré-

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sente jusqu’à une certaine époque par l'intégrale générale,

et depuis cette époque, par l’intégrale singulière.

Supposons un point en mouvement dans un fluide dont la résistance soit proportionnelle à la puissance m de la vitesse, m étant compris entre o et i. Il part de l’origine des x avec une vitesse a dans le sens des x positifs , et n’est soumis à aucune autre force que la résistance du milieu. L’équation de son mouvement sera

k désignant une constante connue. On lire de cette équation

V m <iv zzz — / dl ,

et, par suite ,

( 2 ) ,, 1 - 1 .. — a \- -m — — m)kt.

Observons que la puissance fractionnaire e"‘ 11e comporte dans aucun cas le double signe dans l’équation différentielle, et qu’il est entendu qu’elle sera toujours considérée comme implicitement positive; sans quoi l’équation (1) 11e représenterait pas les conditions de la question mécanique. Il faut donc, dans tout le reste du calcul, considérer l’exposant m comme 11e donnant qu une valeur positive à la puissance de e où il entrera; et, lorsqu’une équation lui donnera une valeur négative, elle ne représentera pas le mouvement du point.

Nous avons dit qu’il fallait considérer toutes les solutions de l’équation (1); il faut donc tenir compte des solutions singulières, qui se réduisent à

La solution complète du problème proposé est donc donnée par les équations (2) et ( 3 ) , et il ne s’agit plus que de

STATIQU*.

reconnaître laquelle on doit considérer à un instant donné quelconque.

Or, il est évident qu'au moment du départ, la vitesse étant a, et ne pouvant être détruite que dans un temps iini, on ne devra pas faire usage de l’équation (3) dans le commencement du mouvement. On devra donc prendre l'équation (2). Mais on n’en devra faire usage que jusqu’à l’époque pour laquelle on aura

m ) ht = u'~ m , ou

parce qu’au delà on aurait une valeur négative pour ce que nous avons vu 11c pouvoir convenir à la question mécanique proposée. Jusqu'à cette valeur de t, l'équation (3) 11e peut convenir, mais elle est satisfaite à cette époque, et elle devra l’être indéfiniment ensuite, puisque l'équation (2) 11e peut l’être, et que le problème a certainement une solution , qui ne peut être représentée que par l’une ou l'autre de ces deux équations.

Il suit de là que depuis t = o jusqu’à t = — — ^ j > 011

aura

et depuis celte dernière valeur de t jusqu’à t = 00 , on aura 0=0, et le point restera immobile dans la position où il

sera arrivé au bout d’un temps égal à — •

Nous pouvons maintenant intégrer l’équation (q) après avoir remplacé v par et nous savons jusqu’à quelle valeur de t elle donnera la valeur de x qui convient à la question: de sorte qu'il 11’y aura plus aucune discussion à

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faire. Ou aura ainsi

et par suite, en exprimant que pour t — o on a x — o,