I arc tang - — h 1. - v g
t/fi’-t-K’X
272. Autre loi (le résistance. — Supposons maintenant la résistance proportionnelle à la vitesse, et représentée par
J-! K étant la vitesse qui rendrait la résistance égale au
poids du corps que l’on considère -, si le mouvement est dans le sens de la pesanteur, on aura
d’où
k r <iv r , ,
gJK — v g
Si la vitesse initiale est nulle, 011 aura
et, par suite , d’où
On aura donc
cl comme on a x = o pour t — o, on aura
cl, par conséquent ,
j=Kt +
La valeur de t* apprend que la vitesse tend indénnimenl à se réduire à K, c’est-à-dire à celle pour laquelle la résistance est égale au poids du mobile. Quant à la valeur de x, elle croit indéfiniment.
273. Dans le cas où le mobile aurait une vitesse initiale a, et ne serait pas soumis à l’action de la pesanteur, mais à la résistance seule da milieu, on aurait
v dv s , K dv K ,
et comme on a c = « pour t = o, il en résulte C = — I. a , et
On tire de là
‘ = a Je
et comme on a en même temps t — o, x — o, on aura
«K aK( - j£\
C = — , et, par suite, x = — — y i — c J •
On voit que la vitesse a pour limite o, à mesure que le
temps augmente indéfiniment; et x a pour limite : île
sorte que le point tend indéfiniment vers une position déterminée, qu’il ne peut jamais atteindre.
274. Mouvement vertical d'un point dans le vide. — Supposons un point matériel placé en A (/Ig- 6 o) au-dessus de la surface de la terre, et attiré vers son centre O en raison inverse du carré de la distance. Prenons le point A pour origine des x que nous regarderons comme positif dans le sens de la pesanteur; cl désignons par g cette force appliquée à l'unité de masse, placée à la surface de la terre, à la distance r du centre. On aura, d’après rirypolhèse,
ij) = . — en posant OA = a. L’équation à intégrer sera
rit' ( a — x)’
Elle devient , en la multipliant par 2 dx-,
i/ J x , rlx
2 — dx = 2 gr’ , •
dt 7 ' la — .tV
PRKMli.RK A?fMÏK. — STATIQUF.. 023
( ,/jA !
— j correspondante à l’accroissement dt, et le second est celle de
— - — correspondante à l’accroissement dx relatif à dt. a — x 1
Donc, les intégrales ne peuvent différer que d’une constante, et l’on aura
^dx\’ 2gr’
Nous supposerons la vitesse nulle au point A, d’où résultera
2 gr l
et, par suite,
(,) (£Y iWïÊ.-ï-*,..
' ' \dt ) \a — x a l <• « — x
Cherchons maintenant x en fonction de *. Or, on lire de cette équation, en observant que dx et dt sont de même signe,
d’où
t~ i p f ( a — x ) dx i p d
r y ,/ V ax — x 1 r \ 2 g J 'f ax — x 1
— r -dx
et, enfin,
[ 2 ) t — - i / — I yVix — x’ H — arc cos — 1 •
3î4 COURS l>E MÉCANIQUE.
Comme on doit avoir x — o pour £ = o, la constante sera nulle, pourvu qu’on prenne zéro pour l'arc dont le cosinus est l’unité. Le problème est donc complètement résolu, puisque, pour une valeur quelconque de x, on peut déterminer l’instant où le mobile y passera, et la vitesse qu’il aura. Réciproquement, pour une valeur donnée de £, on connaîtrait la valeur de x par la résolution approchée d’une équation numérique, ou par la construction de la courbe représentée par l’équation (a), dans laquelle t représenterait l’ordonnée.
Ces formules ne s’appliquent qu’autant que le point ne pénètre pas dans l’intérieur de la terre; elles ne s’étendront donc que jusqu’à x = a — r. Au delà de ce point, la force devient proportionnelle à la distance au centre, elle mouvement est représenté par des équations différentes que nous allons déterminer.
27o. Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le mobile parte du point A (fig. 61 ) de la surface de la terre avec une vitesse nulle; nous prendrons l'origine des x au centre, à cause de la symétrie par rapport à ce point, et nous regarderons les x comme positifs dans le sens OA. L expression de la force sera
Multipliant par idx et intégrant, il vient
et comme on a v= o pour x = on aura C =gr , d’où
Il reste à trouver une équation entre x et /. Or, celle-ci
STATIlJVr.
ii5
donne
dt
jr ff*
V g sr 7 —
nous prenons le signe — pour la racine carrée, parce que dx et ch sont de signes contraires, tant que le mour venient a lieu eu sens contraire des x positifs. On obtient, en intégrant,
La constante est nulle, puisque l’on a en même temps t = u, x= r. Cette équation, résolue par rapport à x, devient
: r cos . t
La valeur de e’ montre que la vitesse est maximum quand le point passe au centre, et qu’elle redevient nulle pour x = — r, c’est-à-dire à l’extrémité opposée du diamètre. Le point se trouve alors dans les mêmes circonstances; il revient donc vers sa première position par un mouvement identique au premier, et l’on aura un nombre indéfini d’oscillations semblables. La vitesse ne dépendant que de x*, est la même pour deux positions situées à égale distance du centre.
On voit, par l’équation entre x et t, que le point arrive au centre après un temps égal à ^ y que pour des époques également distantes de ect instant, les distances au centre sont égales, et que le point arrive à l’extrémité du
diamètre après un temps égal à tr t/^- , et qui exprime par
conséquent la durée de l’oscillation.
Les calculs qui précèdent ne s'appliquent pas seulement
COURS DF. MKCSNIQUK.
à la question particulière qui nous y a conduits, niais à toutes celles où l’on a à considérer une force proportionnelle à la distance à un point fixe; ce qui sc rencontre souvent dans l’étude de la Physique.
276. Les formules précédentes se réduisent sensiblement à celles du mouvement uniformément accéléré, quand on suppose l’espace parcouru très-petit par rapport à la distance au centre; ce qui revient à supposer la force sensiblement constante.
Ainsi l’équation (t) peut se mettre sous la forme
v‘ — igx
a 1 — ax
Soit
h étant très-petit par rapport à r et représentant l'élévation du point A au-dessus de la surface de la terre;
— — — se réduira à l’unité, en négligeant les quantités de l’ordre de et l’on aura, à ce degré d’approximation,
I’’ = 2 gx .
Passons à la formule ( 2 ). On aura
— \Ja y ax x’ — - \fr ^ « —J = — ^ ;
remplaçant a par r-t-A, et négligeant les termes où entrent
les rapports - 1 - , il restera \Jx\ et la première partie de t
sera t /
De même, en développant arc cos " ~. r ; ou bien
arc si n
VRLM1EAF. ANNEE. — STATIQUE.
2 y ax — x’
on trouvera que la secoude partie peut
être réduite à \/ — , et l’on aura V ïg
Dans la seconde question , les espaces parcourus sont r — x, et si on les suppose très-petits par rapport à r, la formule (3), qui peut se mettre sous la forme
se réduit sensiblement à
la formule (4) développée devient
Si l’on néglige les termes qui renferment r eu dénominateur, elle se réduit à
