MJ MOUVEMENT D’UN POINT LIBRE DANS L’ESPACE

278. Ce que deviendrait le mouvement si la force cessait d'agir . — Si, à un instant quelconque du mouvement, l'action de la force cessait entièrement, le point mobile 11 e pourrait plus avoir qu’un, mouvement rectiligne et uniforme. d'après la loi d’inertie que nous avons admise précédemment. 11 ne reste donc à déterminer que la direction et la vitesse de ce mouvement.

Pour cela, concevons trois axes rectangulaires, de directions constantes, et dont l’origine ait précisément ce mou-

vcment que nous voulons déterminer. Si la force n'agit plus, le mobile coïncidera constamment avec celte origine. Mais si clic ne cessait pas son action, c’est-à-dire si le point continuait son mouvement réel, le momement qu’il prendrait par rapport aux axes mobiles serait, d’après un principe général admis précédemment, celui même qui aurait lieu par rapport à des axes fixes, si on plaçait le mobile sans vitesse à leur point de rencontre, et qu’on lui appliquât la force même qui le sollicite dans son mouvement réel. Or, l’espace qu’il parcourrait ainsi dans un temps infiniment petit du premier ordre, serait un infiniment petit du second, tandis que celui que parcourrait en même temps l’origine mobile, serait du premier. Si donc, sur la direction rectiligne que suit le point après la suppression de la force, on prend une quantité infiniment petite du premier ordre, elle est à une distance infiniment petite du second ordre, du point sur sa trajectoire; d’où il suit d'abord que cette direction rectiligne ne peut être que la tangente à cette trajectoire. De plus, l’espace parcouru par le point sur sa trajectoire ne différant que d’un infiniment petit du second ordre de celui que parcourt l’origine pendant le même temps , la vitesse dans le mouvement réel, à l’instant considéré, est la même que celle de l’origine.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si, à un instant quelconque, la Jorce qui produit le mouvement d’un point libre cessait <¥agir, ce point se mouvrait alors uniformément suivant la tangente à la trajectoire avec la vitesse qu’il avait à ce même instant.

279. V alcur et direction de la force d'après le mouvement produit. — Considérons une position quelconque M ( fig . 63) d’un point dont la masse est m . et dont les coordonnées x , y, z sont des fonctions déterminées du temps l. Si la force qui agit sur lui cessait à cet instant son action, il se mouvrait sur la tangente MT avec la vitesse v qu il a

33a rosis iif sircAMsjuE.

eu M. Si doue nous supposons (rois axes X ; , Y', IL constamment parallèles aux premiers, et dont 1 origine se meuve sur MT avec la vitesse constante v , le mouvement du point m , par rapport à ces axes, sera identique à celui qui aurait lieu par rapport à des axes immobiles si le point m était placé sans vitesse à l’origine et sollicité par la même force qui agit sur lui.

Ce mouvement relatif est précisément ce que nous avons appelé le mouvement déviatoire , et la ligne M';»' qu’il décrit ainsi est ce que nous avons appelé la déviation (n" 195) . Ainsi celle dernière ligne peut être considérée comme celle que décrirait le mobile placé sans vitesse au point M et sollicité par la force même qui agit sur le mobile dans son mouvement réel, en conservant à cette force une direction et une intensité constante.

On tire de là les deux conséquences suivantes :

i°. La direction de la force qui agit à un instant quelconque sur le mobile libre, est la même que celle de la déviation en ce point .

2 °. L'intensité de cette force, rapportée à l'unité de masse du mobile, est mesurée par V accélération dans le mouvement déviatoire.

De la première de ces propositions se déduit cette autre proposition importante :

La direction d»la Jorcc en chaque point de la trajectoire est comprise dans le plan osculateur de cette courbe en ce point ; car la déviation, joignant constamment un point île la courbe à un point de la tangente, a pour direction limite une droite située dans ce plan.

Il reste maintenant à exprimer analytiquement les propositions précédentes.

Or nous avons tromé (u" 5 197 et 198) que les cosinus des angles que la direction de la déviation fait avec les axes . sont

PREMIERE AWYtE.

STATIQUE

proportionnels aux trois quantités

dx d 7 y d 7 z

dt 7 5 rfr’ ’ rfr 1

et que 1 accélération dans le mouvement déviatoire était égale à

Si donc nous désignons par y la force accélératrice qui agit sur le mobile, nous aurons, d’après ce qui a été établi dans le numéro précédent ,