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et les cosinus des angles'que sa direction lait avec les axes auront pour valeurs
<p di ‘ ^ di 1 ’ ¥ dt 1
Pour avoir en grandeurs et en signes les composantes de la force accélératrice, il faudra multiplier ces cosinus par la valeur absolue ? de cette force, et l’on obtiendra ainsi
' ' dt 7 ’ ~dF' ~dF'
En multipliant ces composantes de la force qui agit sur l’unité de masse du mobile par sa masse ni, on aura les composantes de la force motrice, c’est-à-dire de la force qui agit sur sa masse meme. En désignant ces dernières par X, Y, Z, on aura les équations suivantes entre la force ipii produit le mouvement et les coordonnées du mobile à
chaque instant :
colins DF. m k:\muiie.
HF
«jui se réduisent aux suivantes, en supposantque le mobile ait une masse égale à l'unité :
Ce sont les équations différentielles du mouvement de tout point libre.
280. Usage des équations du mouvement . — Les équations (3) ou (4) donnent le moyen de ramener au calcul toutes les questions qui peuvent se présenter sur le mouvement d'un point. Le cas le plus simple serait celui où l'on donnerait x , y, z en fonction de f ; ou, plus généralement , trois équations finies entre x, y, z, t. En les diflérentiant une fois par rapport à t, on connaîtrait les composantes de la vitesse du mobile. Une seconde différentiation ferait connaître les composantes de la force accélératrice, et, par conséquent, cette force elle-même en grandeur et en direction. Enfin l élimination de t, entre les trois équations données, ferait connaître les deux équations de la trajectoire.
Mais les données de la question sont, en général, moins simples. Elles devront toujours fournir trois conditions, puisqu’il y a quatre variables x, y, z, f , dont une seule est indépendante : mais si l’on pouvait reconnaître à priori que la trajectoire est plane, on prendrait deux axes de coordonnées dans son plan, et il nv aurait plus que trois variables, savoir : le temps t et les deux coordonnées, quelles qu’elles soient, du mobile.
Le cas le plus difficile est généralement celui où la force
STATIQUE
est donnée. Ou connaît alors X, Y, Z en fonction de x, ) , z , t, cl les équations du mouvement sont de la forme
<it'
d 2 y ci * z
K(.r, z, t), -~=zV,(x,y,z,t), — =F ,(x,y,z,t).
rit 1
Si l’on peut intégrer le système de ces trois équations différentielles du second ordre, ou parviendra à trois équations cuire x, y, z, t et six constantes arbitraires. Les constantes se détermineront d’après les circonstances initiales du mouvement.
On observera, pour cela, que le mouvement du point n’est pas déterminé par la seule connaissance de la force qui agit sur lui. Il faut encore connaître la position où il se trouve à un certain instant, celui par exemple à partir duquel on commence à compter le temps, et, de plus, la grandeur et la direction de sa vitesse à cet instant. C'est en cela que consiste ce qu’on appelle l’élat initial du point; et l’on voit qu’il renferme six données nécessaires et suffisantes, les trois coordonnées du point et les trois composantes de sa vitesse.
Or il est facile, au moyen de ces données, de déterminer les six constantes introduites par l’intégration. Eu effet, les équations intégrales, ainsi que toutes celles qu’on en déduirait par la différentiation, ayant lieu pour toute valeur de /, seront satisfaites si l’on y fait t—o. Four celle valeur de t on
connaît, par hypothèse, les valeurs de x, y, z, —■> ~i
En les substituant dans les équations intégrales et leurs dérivées premières, dans lesquelles ou aura fait t — o, on aura six équations qui ne renfermeront d’inconnues que les six constantes, «pii, par conséquent, seront déterminées.
Ayant ainsi trois équations entre a:, y, z, t, on rentre dans le premier cas que nous avons examiné.
336 cocas i>r. xér.xMQtir..
281 . Composantes, tangentielle et normale, de. la force. — Nous avons déterminé (n° 201 ) les composantes, taugenticlle et normale, de l’accélération dans le mouvement dé-
viatoire. La première est exprimée par -jp > la seconde par — » et l’accélération elle-même par
Or la force a la même direction que la déviation ou l’accélération; elle aura donc avec ses composantes , suivant la tangente et la normale, les mêmes rapports que l’accélération et ses composantes suivant ces mêmes directions. Et comme nous venons de voir que la force accélératrice était mesurée par l'accélération du mouvement déviatoire, qui est
il en résulte que ses deux composantes seront aussi mesurées par celles de l’accélération.
Ainsi :
La composante tangentielle de la force accélératrice est
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et la composante normale, dirigée vers le centre de courbure, est
Il étant le rayon de courbure de la trajectoire : on désigne aussi celte dernière sous le nom de force centripète. Si au lieu de l’unité de masse on suppose une masse ni, ces deux
PAKHOHE ANNEE.
STATIQrr..
composâmes se changeront eu
il ' s l/l- ’
"282. Composantes tangentie/le et normale tl<- la force d'inertie. — ÎVous avons vu (n°2fii) que toutes les fois qu’une action s’exerçait sur un corps, celui-ci exerçait toujours en sens contraire une action égale, que l'on nomme réaction ou force d’inertie. Si l'action s’exerce par la pression ou la traction d’un autre corps, ou appareil matériel quelconque, c’est sur les points matériels en contact que s’exerce la réaction. Si elle provient d’un corps à distance, c’est toujours sur ce corps que la réaction s’opère ; et elle est encore égale et directement opposée à 1 action qui a lieu sur le premier.
Cela posé, considérons un point libre ayant une masse m et décrivant une trajectoire quelconque sous l’action d’une certaine force, que nous nous. représenterons comme' produite par la traction d’un fil ou par la pression d’un autre corps; la force d’inertie sera appliquée à ce fil ou ce corps extérieur, au point même de l’espace où se trouve le mobile, et pourra être décomposée en deux autres égales et opposées à celles de la force appliquée au mobile : l’une
tangentielle égale à m » l’autre normale égale à •
La composante normale sera donc dans le plan oscillateur de la trajectoire et dirigée du côté opposé au centre de courbure; de sorte que si l’on concevait qu’elle agit sur un point sans vitesse pendant un temps fini , ce point se mouvrait suivant la normale en s’éloignant de ce centre. C’est pour celte raison qu’on lui a donné le nom de force ccntrifuge.
On fait quelquefois de faux raisonnements relativement à la force centrifuge, parce qu’on ne se rappelle pas assez
338 COURS DR MfcCAMQl'E.
qu’elle n'est pas appliquée au point en mouvement, mais au corps en contact avec lui, et qui , par sa pression ou sa traction, déterminerait ce mouvement. Si l’on supposait le mouvement produit autrement que par la pression d’un corps, la réaction, comme nous l’avons dit, ne serait plus appliquée à un point en contact avec celui que l’on considère, et la dénomination de force centrifuge ne semble plus assez naturelle. Par exemple, en regardant le mouvement de la terre comme produit par l'attraction du soleil , la réaction de la terre est appliquée au soleil; sa composante normale l’est donc aussi, et l’on serait obligé de dire que la force centrifuge produite par la terre est appliquée au soleil. Un ferait peut-être mieux de supprimer cette dénomination qui obscurcit quelquefois les choses, et d’employer le mot réaction, qui rappelle toujours à quel point la force et ses composantes sont appliquées.
283. La force centripète , et, par suite, la force centrifuge, a d’abord été considérée dans le cercle, et son expression s’y détermine par des considérations très-simples. En effet, si on décompose la force accélératrice qui agit sur le point, et qui est nécessairement comprise dans le plan du cercle en deux autres forces, dont l’une soit tangente et l’autre normale au cercle, le mouvement de la projection du point sur la normale sera uniquement dû, comme nous le savons, à la composante normale. Or, eu supposant celte composante constante de grandeur et de direction pendant un temps infiniment petit r/t, la théorie du mouvement uniformément accéléré apprend que sa valeur sera égale au double de l'espace parcouru suivant la normale divisée par 1e carré du temps. Cet espace est égal au carré de la coide, ou de l’arc r/s, dont il est la projection, divisé par le dia-
tli »
(fl 1
mètre 2 R ; donc la composante normale est égale à — ou
l'UhMIMth A»KK. — STAT1QUK.
à^- Telle esl donc, dans le cercle, l’expression de la force
centripète ou de la force centrifuge. Elle serait pour le
point dont la masse serait rn.
Si l’on désigne par w la vitesse angulaire du rayon qui contient le mobile, on aura
et l’expression de ces forces devient
ou encore
R m 4 it ’
en désignant par T le temps que le point met à décrire le cercle.
En supposant que le mobile soit obligé de décrire le cercle au moyen d’une tige ou d’un fil , sans masse, de longueur invariable, dont une extrémité est fixée au centre, ce fil tire le point et produit sur lui la force centripète; il est tiré à son tour par la force centrifuge. Ces deux forces eu équilibre sur le fil déterminent sa tension.
Si l’on supposait, au lieu de cela, un cercle matériel que le mobile ne pourrait quitter, par exemple un anneau creux infiniment étroit , dans l’intérieur duquel serait le point en mouvement, ce cercle exercerait sur lui une force dirigée vers le centre; et, réciproquement, celui-ci en exercerait une autre sur ce cercle, égale et directement opposée.
Enfin on peut concevoir un mode de liaison quelconque qui oblige le point à décrire un cercle. Nous allons en donner un exemple très -simple et très-important par les conséquences qui s’en déduisent relativement à la pesanteur. -, .
roi ns r> r. mkc.amoit .
‘iHi. Influence du mouvement de votation de fa terre surfa pesanteur. — Considérons un système de forme invariable et dont les points exercent les uns sur les autres des actions quelconques détruites par leur liaison mutuelle, et donnons-lui un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe. 11 est facile de reconnaître qu’alons les liaisons du ^système détruisent, pour chaque point matériel, les aclious mutuelles qu’il subissait dans l’état primitif, jointes à la force centrifuge correspondante à sa masse et à son mouvement.
En plfet , ou peut ajouter à toutes les actions primitives la force centripète et la force centrifuge relatives à chaque point, puisque ces deux forces se détruiront. Or la force centripète produirait le mouvement du point s'il était .libre; il faut donc que toutes les autres soient détruites : donc la résultante des actions mutuelles primitives exercées sur chaque point, et de la force centrifuge considérée alors comme appliquée à ce point même, est détruite par les liaisons..
• Soient r la distance d’un point quelconque du corps à Taxe, et T le temps de la révolution entière; la vitesse de ce
2 7 x r il 77* r
point sera — - , et la force centrifuge — On voit qu’elle
est proportionnelle à la distance de l’axe ; elle est donc nulle aux extrémités de l’axe, et la plus grande possible pour le point le plus éloigné de l’axe.
La terre est animée d’un mouvement de rotation qui, comme nous venons de l’expliquer, introduit parmi les forces détruites par la liaison des points, une force centrifuge qui n’existerait pas si elle n’avait qu’un mouvement de translation, par lequel tous ses points décriraient, dans un même temps infiniment petit, des droites égales et parallèles. Ce mouvement de rotation s'effectue dans 86it>4 sc-
STATIQUE
, pnt.HIkftt ANNIE. —
coudes, el l’on a, par conséquent,
A l’équateur, la rotation de la terre et la force centrifuge étant directement opposées , la-pesanteur a une valeur égale à celle qu'elle aurait si la rotation n'avait pas lieu, diminuée de la force centrifuge. Si l'on fait d'abord abstraction du petit changement de la pesanteur à la surface de la terre, on pourra la regarder comme égale à g à l’équateur, et si l’on appelle (1 celle qui aurait lieu si la terre ne tournait pas sur elle-même, et qui est la résultante des actions mutuelles, ou aura
tülf • •
.Mais 27 ~r — 40000000; donc on- aura à peu près
4 gr
<rT
et
ou, a très peu près, g
I.a gravité est donc diminuée environ de de sa valeur par la force centrifuge à l’équateur. F.t comme 289 est le carré de 17 et que la force centrifuge est proportionnelle au carré de la vitesse; si le mouvement de rotation était environ 17 fois plus rapide, la pesanteur serait nulle à l’équateur.
Sur un parallèle quelconque, la force centrifuge n’est
pas directement opposée à 1 attraction de la terre, mais elle
change très-peu la direction de celte attraction ou de la
gravité, et la diminution de son intensité est sensiblement
«•gale à la projection de la force centrifuge sur la normale
•i * 1 • 4’ r,r ' cos * / . 1 1 • nu
a la sphère, ou — ■ r étant le rayon du parallèle,
342 cor IIS DF. MÊCAXIQOE.
et X sa. latitude. Or, en supposant la terre sphérique, -on aura *
- ■ r' z=z r ros X , ,
et la diminution de la pesanteur sur ce parallèle sera
~jT cos ‘ A -
Elle varie de l’équateur au pôle proportionnellement au carré du cosinus de la latitude. Mais la terre n’étant pas tout à fait sphérique, il en résulte une autre diminution proportionnelle au carré du cosinus de la latitude, et qui s ajoute à la première; de sorte que le poids d’un corps transporté du pôle à l’équateur diminue de au lieu de .
