CC
r’rfJ» = c'dt devient d-Sj — — dt,
et comme 0 = a = o, elle se réduit à
d’où l’on tire , en faisant commencer l’angle p en même temps que t , p = t y/~ Ainsi, dans ce cas, le mouvement du pendule est uniforme , et il décrit la surface conique entière dans un temps égal à an
Revenons à l’équation (i 3 ) qui est évidemment intégrable; mettons- la sous la forme
et posons
il en résultera
PRFMIKBK AS SÉR. — STATIQUE. 397
La consiantc c, se déterminera en exprimant que t — o donne 6 = a , et par suite x — 1 5 il en résultera
ou
d’où l’on ronclura pour Ô’ la valeur suivante :
0 ‘ = 1 cos . 2. f t / - ,
0 ' = a' cos’ . f '
On reconnaît immédiatement que 0 * est périodique, et que la durée de la période est n P° ur t = o, on a
pour / = ^ Tt y/“’ c’est-à-dire au milieu de la période.
on a
et
lorsque t — n on retrouve
De sorte qu’un observateur qui se mouvrait avec le plan vertical qui contient le pendule, verrait osciller ce dernier entre les deux directions faisant avec la verticale, et d’un même côté, les angles «, 6. Le temps qu’il mettrait pour
arriver de l’une à l’autre serait '-n y/”; niais, au milieu
3t)8 COURS DF. MÉCANIQUE.
de cet intervalle, il ue serait pas à égale distance de ces deux droites, et l’on aurait à cet instant
ce qui donne pour 0 une valeur plus grande que la moyenne
11 reste à connaître en fonction de t. Or, ou a
r’rfiji = d dt,
ou
k x de a O 1
Remettant pour 0* sa valeur en <, il vient
dif = aS
dt
a’ cos’ . t
sin’.r
Pour intégrer cette expression, nous poserons, d'après la méthode ordinaire, lang.t y/- — v i et nous obtiendrons
d il = —
x Qdv 0 ’k’
d où l’on déduit
ip ~ arc tan# —
11 n’y a pas de constante h ajouter, parce que l’on doit avoir en même temps
Cette équation peut se mettre sous la forme <Si>
STATIQUE
OU
.ang|= Sang./y/l
On voit que l’angle t \ ne croit pas uniformément; il prend successivement les valeurs 7;, îir, 3 ît,..., mit, pour les valeurs successives de t qui rendent le second membre nul;
ces valeurs sont tt t/ — n " T \ /— - Aux milieux de ces di-
vers intervalles de temps, le second membre devient infini; le premier le devient donc aussi , et les valeurs de <p sont i 7t , 7t 4- i rr,...; de sorte que le plan vertical qui contient le pendule se trouve perpendiculaire à sa position initiale. Ainsi , les quatre quarts de la révolution de ce plan sont
parcourus dans des intervalles de temps égaux à ^ y Y >
et, pendant chacun d’eux, le pendule accomplit dans son plan vertical une oscillation qui l’amène de l'une à l'autre des deux directions extrêmes qui fout avec la verticale les angles a elë.
On ^>eut encore remarquer que le plan vertical du pendule met toujours le môme temps à parcourir deux angles droits, à partir d’une quelconque de ses positions.
320 . Si l’on veut connaître le mouvement de la projection du point sur le plan horizontal, il faut obtenir en fonction de t , soit r et tfi, soit X et y.
D’abord l'équation (16) fart connaître ÿ ; et pour avoir r , il suffira de recourir à la formule
r’riij* c' dt = ka 7 .dt ,
et de substituer à ^ sa valeur tirée de l'équation (i 5 );on trouvera ainsi
-{17 ) r 1 = a 1 cos 1 ./ ~ -4- S’ sin 1 . t
COURS DK MÉCANIQUE.
4oo
Les équations (16) et (17) résolvent la question. On obtiendra l’équation de la projection de la trajectoire sur le plan horizontal, en éliminant t entre ces équations, ce qui conduit à
a’ sin 1 •} -t- fi’ c os’
11 est facile d’y reconnaître l’équation d'une ellipse. O11 l’aura en coordonnées rectangles en posant
x ■= r cos •} , y = r sin ;
elle devient ainsi
Ses deini-axes sont «ot, 4 o - , ils sont renfermés dans deux plans verticaux rectangulaires, dont l’un passe par le point de départ.
Enfin , si l’on veut avoir .r et y en fonction de t , il suffira de substituer dans les formules
x = rcosil<, X — r si n \ji , *
la valeur de r donnée par l’équation (17) et les valeurs de costj /, sin 4» qu’on tirera de l'équation (16).
On trouve ainsi
x 1 = a 1 a 3 cos 3 . t
yfi.
n’ë'sin’.f
O11 peut faire ici une remarque qui se rapporte à un principe général dont nous parlerons plus tard. Elle tient à ce que la valeur de x ne dépend pas de 6. ni celle de y de a. Il suit de là que le mouvement projeté sur l’axe des x est le même que si 6 était nul , et que le pendule écarté de la verticale d’un angle a. fût abandonné sans vitesse initiale à l’action de la pesanteur. Semblablement, le mouvement projeté sur
l'axe des j est le même que si le pendule pariait de la verticale avec la vitesse initiale donnée, qui se trouvera dirigée suivant l'axe desj\ Ainsi ces deux causes de mouvement, savoir, l'écartement de la verticale et la vitesse initiale, produisent séparément leur effet; et l'on a la position du mobile à un instant quelconque, en composant les déplacements correspondants à ce même instant, dans les deux mouvements qui seraient produits respectivement par chacune des deux causes agissant isolément.
