Ï.,*-X4 + .NV("^V
= z <u -x,h + xv(ïl f u~il ,iz \ .
\dz dje I
Or, en dillérentiaflt , par rapport à une variable quelconque , l'identité
dy
dy ilt dx dx
lit
on trouve
et de même
En substituant ces valeurs dans les équations (2), et rera-
plaçant e* par i tp (x, y, z) 4- C, puis éliminant entre elles NV, on aura une équation différentielle entre x,y, z, où le temps n’entrera pas,, et qui, conjointement avec F (x,y , z) — o, déterminera la trajectoire. Connaissant j
et z en fonction de x , et en fonction de .r,y, z, on parviendra facilement à une équation de la forme — rlx, d'où l’on déduira x en fonction de f, et, par suite, toutes les circonstances du mouvement.
315. Pression exercée sur la surface. — La composante normale de la résultante de toutes les forces appliquées au mobile, en y comprenant l’action de la surface, est dans b;
plan osculateur de la trajectoire, et égale à - ■ Cettedernière
force est donc la résultante de la force produite par la surface, qui est normale à la surface et, par suite, à la trajectoire; et de la composante normale à Ta trajectoire, de la force extérieure qui agit sur le mobile. Si donc on désigne cette composante par Q, par 0 l'angle du plan osculateur avec la normale à la surface , et par celui de la force avec la même normale, on aura la proportion
- : Q ; : sm >|/ : $m 0.
Celte relation déterminera la direction du plan osculateur quand on connaîtra e, R, Q, 1 J/. Dans le cas particulier où l’on aurait Q = o, il en résulterait 0 = o, et le plan osculateur serait le plan normal à la surface. Ce cas est celui où la force extérieure est nulle, ou tangente à la trajectoire : il comprend donc celui où il y aurait fl ottement sur la surface, ou une résistance de milieu. Dans ces divers cas, le plan osculateur de la trajectoire étant constamment normal à la surface, cette ligne est la plus courte que l’on puisse mener sur la surface entre deux quelconques de ses
rHK.MILItK ANNhK.
— sfATiyUK. 3bo
points. Un peut reconnaître directement que lorsque la force extérieure est nulle ou dirigée suivant la tangente à la trajectoire, le plan osculateur de cette courbe est normal à la surface. En effet, ce plan doit renfermer la tangente à la trajectoire et la résultante totale, c’est-à-dire une des composantes et la résultante : il renferme donc l’autre composante, qui est la normale à la surface, et, par conséquent, il est lui-même normal à la surface.
Application au mouvement d'un point pesant sur une
sphère.
3 If). Soit l’équation de la sphère ( i ) x’ -+- y' -t- z’ = a 1 . . . ;
les équations du mouvement seront
~dT
,Nx
rit' '
, Ny d'z , N a a fit' 6 a
l’axe des z étant supposé dans le sens de la pesanteur. La vitesse sera donnée par l’équation
la constante c étant déterminée par la hauteur et la vitesse initiales du mobile.
L’équation des aires n’a plus lieu pour tous les plans; mais, comme la résultante des forces qui agissent sur le point, coupe toujours l'axe des z, elle aura lieu pour le plan des x et jr, comme nous l’avons dit précédemment. On aura donc, en désignant par c' une constante arbitraire,
(4) Jtdy — y. dx = c' dt ;
l'équation ( 3 ) peut se mettre sous la forme
dx' -4- dy' -t- dz'
dP
= e + 2 gz.
Les équations (1), ( 4 ), ( 5 ) suffisent pour détermiuer x, y, z en fonction de t.
Ditférentiant d’abord l’équation de la sphère, nous aurons
(6) xdx -(- ydy = — zdz\
ajoutant les carrés des équations (4) et (6), il vient (x’ 4- y') [dx' -t- dy') = z ' dz' -4- c’'dt',
et en tirant x* -h y* et dx* -4- dy* des équations (1) et ( 5 ), 011 obtiendra entre x et t l’équatiou
(a’ — x 1 ) [ (c ■+■ igz) dt ' — dz') = z' dz' -4- c’'dt ' ;
d'où l'on déduit
rîz ndz
^[a' — z' ) ( c -t- 2 gz ) — c'*
Le signe — correspond au cas où le mobile monte, et le signe -4- à celui où il descend.
De là on tirerait , en intégrant,
f = F(z) ou s = F, (f).
Il reste à déterminer la projection horizontale du mobile, soit par les - coordonnées x et y, soit par des coordonnées polaires; nous nous arrêterons à ce dernier moyen.
L’équation x dy — ydx=c'dt devient, en désignant par r le rayon vecteur de la projection, et par <p l’angle qu’il fait avec l’axe des x,
(8) r'd\ zzzt'dt et r' a' — z' ;
l'HKMIMU a.xwh. — stvhquk. 3g I
doue , en se bornant au signe supérieur,
c' rit ne' riz
fll (o 1 — z’) \\ a 1 — s 3 ) (r -+- 7.gz ) — c' 1
Si Ton substitue à dt sa valeur en z et dz , ou si l’on suppose z exprimé au moyeu de t par l’intégration précédente, une nouvelle quadrature fera connaître en fonction de z ou de t ; et comme on a
toutes les coordonnées du mobile seront connues en fonction de t. Mais ces diverses intégrations ne peuvent être calculées que par approximation.
Si l’on veut connaître l’angle que forme, avec la verticale, le rayon mené du centre de la sphère au point mobile, on aura , en le désignant par 0,
cos 8 = - ; a
il sera donc connu quand z le sera.
317. Déterminons maintenant la constante c'. Pour cela, décomposons la vitesse initiale du point en deux autres, dont l’une soit perpendiculaire au plan vertical passant par ce point et le centre de la sphère, et l'autre soit comprise dans ce plan. La première sera la composante de la vitesse de la projection horizontale du point , suivant la perpendiculaire au rayon vecteur r de la courbe décrite par cette projection - , car celte perpendiculaire est normale au plan vertical dans lequel se trouve la seconde composante totale de la vitesse absolue du point, et par conséquent cette composante donne une projection nulle sur la perpendiculaire au rayon vecteur de la projection horizontale.
Soient , dans la position initiale du point, d la valeur de z, la vitesse, qui est nécessairement tangente à la
3tJ2 COIBS UE MECANIQUE^
sphère, et a l’aligle que fait sa direction avec la perpendiculaire au plan vertical qui passe par le point et le centre de la sphère ; on aura , d’après ce qui vient d’ètrc dit ,
r = k COS a , dt
et, substituant à — sa valeur tirée de l’équation (8),
— = A cos a ;
comme on a, au point de départ, r = — d la valeur
de c' sera
(10) c' = k y'rt’ — rf’cosa.
Si la vitesse initiale est nulle, ou dirigée dans le plan vertical passant par le centre, on a c' — o, et l’on retrouve les équations du mouvement du pendule simple dans un plan vertical.
318. Il reste à calculer à chaque instant la grandeur et le sens de la force N que produit la surface. Pour obtenir sa valeur de la manière la plus simple , nous multiplierons les équations ( 2 ), la première par x, la deuxième par y, la troisième par z, et nous les ajouterons; il en résultera
Or, on a
dt 1
= ±Na -+- gz.
xdx +ydy -+- zdz o, et, en différentiant,
xd'x -h y d’y zd’z = — dx 1 — dy x — dz x — — ds'\
l'équation ( 11 ) devient donc
— i’’ = dt N n -|- gz ,
d’où
t'REMlEBE ANNEE.
STATIQUE
V 1 -(- gz
et comme N est essentiellement positif, 011 verra, d’après les valeurs de v et z à chaque instant , lequel des deux signes du premier membre 011 doit prendre pour que eette équation ne soit pas absurde ; on saura ainsi quels signes il faut prendre à cet instant dans les équations ( 3 ), et, par conséquent , quel est le sens de la force produite par la surface.
Si z est positif, le second membre de l’équation (12) est négatif, et l’on doit prendre le signe inférieur dans le premier membre 5 d’où il résulte que la surface produit sur le point une force dirigée de la surface vers le centre , toutes les fois qu’il est situé au-dessous du plan horizontal mené par le centre de la sphère.
Si z est négatif, c’est-à-dire si le point est au-dessus de ce môme plan horizontal , les deux termes du second membre de l’équation (12) sont de signes contraires , et le résultat peut être négatif, nul ou positif. On prendra encore le signe inférieur de N si l’on a
la force N sera nulle quand on aura — gzz=v‘,
et l’on devra prendre le signe supérieur lorsque l’on aura
dans ce dernier cas, la surface produit sur le point une force dirigée vers l’extérieur de la sphère , et, par conséquent, le point fait effort pour s’approcher du centre.
. On peut se rendre compte directement de ces diverses
conditions relatives au sens de la force iN ; il suffit, pour cela , de se rappeler que la résistance de la surface sur laquelle un point est en mouvement détruit la composante suivant la normale à cette surface, tant des forces appliquées au point que de la force centrifuge.
Cela posé, soit fl le rayon du cercle suivant lequel le plan osculateur en un point quelconque de la trajectoire coupe la splière, et qui n’est autre chose que le cercle
osculateur de cette courbe ; la force centrifuge sera--» et
il faudra la multiplier par — pour avoir sa composante suivant le rayon de la splière, qui passe au même point. On a ainsi -» et cette force est dirigée suivant la partie extérieure de la normale à la sphère. Quant à la composante normale de la pesanteur, elle est dirigée suivant la partie extérieure de la normale lorsque le point est dans l'hémisphère inférieur, et vers le centre lorsque le point est dans l’hémisphère supérieur. Donc, en la considérant comme positive quand elle est dirigée à l’extérieur, et comme négative dans la direction contraire , elle sera exprimée par
“ ; de sorte que — sera la pression détruite par la sur-
face , et le signe de cette expression indiquera le sens de cette force comme nous venons de l’expliquer. Il suit de là (pic la surface remplace une force égale et opposée, et, par
. > e 5 -1- SZ ,
conséquent , représentée par — » le signe étant en-
tendu de la même manière. Ainsi , dans l'hémisphère inférieur, cette expression étant évidemment négative, la force produite par la surface est dirigée vers le centre. Dans 1 autre hémisphère, elle sera encore dirigée vers le centre si l’on a
„ 4- ffz > o ;
premiers anxée. — statique. 3<)5
clic aura la direction contraire lorsque v* -+- gz sera <C°- On retombe ainsi sur les résultats déjà obtenus.
319. Mouvement d'un pendule qui s’écarte très-peu de la verticale . — Le mouvement du point sur la sphère peut être réalisé en supposant ce point lié au centre par une ligne inflexible et sans masse. Ainsi , le problème que nous venons de traiter est celui du pendule simple, considéré de la manière la plus générale. Les calculs peuvent s’exécuter complètement lorsque le pendule fait toujours un très- petit angle avec la verticale menée par le point de suspension.
Soient 6 l’angle variable que forme la direction du pendule avec celle de la pesanteur, a sa valeur initiale correspondante à z = d, et supposons que la vitesse initiale A ait une direction horizontale, auquel cas la valeur c' devient
d — k \Ja ’ — d 1 .
En négligeant les quantités très-petites du troisième ordre et des ordres supérieurs , devant celles du second , nous aurons
= a cos 0 = a j — a = a cos x = a >
: = k ' — 2 ga -4- gn «% — A’a’sin’ot = /t'a* a 1 .
La formule ( 7 ) deviendra
OdO
et posant
Od 0
dt — ±\/-- -
Y 8 \/(a'— fl 1 ) (0’— (5‘]
3<p COURS l>E MECANIQUE.
d’où l’on voit déjà que 0 restera constamment compris entre oc et S. 11 en résulte que si l'on a o = « , ou aura constamment 0 = a ; le pendule décrira donc un cône de révolution autour de la verticale, et le point matériel décrira un cercle horizontal. Quant à l’angle p, la formule générale
