DEUXIÈME PARTIE. HYDROSTATIQUE

z, et aplati aux pùles; les trois composantes X, Y, Z de 1 attraction de la masse de cet ellipsoïde sur un point de sa surface ayant pour coordonnées x, y, z , auront pour expressions

„ 2 nafx r

X = [X — (i -t- X’) arc tang X] ,

Y = [X — (i 4 - X’) arc tang X],

4 7T0 fz

z — — ( I -+- X ! ) (arc tang X — X ) ,

p désiguant la densité du liquide. Pour que l’équilibre ait lieu, il faut que la résultante de ces trois forces et de la force centrifuge dont les composantes sont (o'x, «’ y, soit perpendiculaire en chaque pointa la surface de l'ellipsoïde; ce qui donnera entre les coordonnées de cette surface et leurs difl’éreiitielles l'équation suivante, dans laquelle on a fait

[X — (i + X’) arc tang X -+- 2 «X‘] (xdx 4 - ydy )

-4- 2 ( arc tang X — X) (i 4 - X’) zdz — o.

Mais, d’après l’équation de l’ellipsoïde, on doit avoir entre ces mêmes coordonnées l’équation

xdx 4 -ydy 4- (t 4- X 1 ) zdz — o.

La valeur de zdz devant être la même dans ces deux équations, quels que soient x,y, d. r, dy , on aura la condition suivante, qui déterminera J. ,

X — (i 4- X ! ) arc tang X 4- 2 eX’ = 2 (arc tang X — X).

Cette équation a trois racines nulles, dont on ne tiendra aucun compte; elle peut se mettre sous la forme

ii.'

3 X 4- 2tX'

— - : — — arc tang X±o.

COURS UK MECANIQUE.

Chacune de ses racines réelles positives déterminera le rapport des deux axes de l'ellipse génératrice, et leur grandeur se déduira du volume connu du liquide. Tout sc réduit donc à la recherche du nombre et de la valeur des racines de l’équation (1), qui sont égales deux à deux et de signes contraires, mais dont il suffira de considérer les valeurs positives. Ces racines sont les abscisses des points de rencontre de l’axe des x et de la courbe dont l’équation est

(2) y— -y- g, arc tang x. .

On trouve, en la dilférentiant,

dy 2i' [ex* -+- 2 ( 5 't — ijx 1 4- pi]

dx ( 1 -+- ( 3 -t— jr*)*

Cette expression est nulle pour x = o , et positive pour des valeurs de x très-petites; de sorte que la courbe est tangente à l’axe des a: à l’origine, et commence par s’élever au-dessus de cet axe du côté des x positifs.

La tangente à cette courbe sera parallèle à l’axe des x , aux points dont les abscisses seront données par l’équation

( 3 ) 1 jt* -t- 2 ( 5 s — 1) x' -4- pt = o.

Si cette équation n’avait pas de racines réelles, la courbe s’éloignerait toujours de l’axe des x , et l'équation (t) n’aurait pas non plus de racines réelles. Ainsi . on reconnaît d’abord que l’on doit avoir

5e— i<o, ou £<-J,

car sans cela une valeur positive de x’ ne satisferait pas à l’équation ( 3 ), et la condition de réalité des valeurs de x* exigerait même que l’on eût s <7. Mais cela ne suffit pas pour que l’équation (1) ait des racines réelles; il est nécessaire que la valeur de x qui donne le minimum de l’ordon-

UKCXIKMK FA ATI K . — HYDROSTATIQUE. 22^

née positive/, on , en d’autres termes, la plus grande racine positive de l’équation (3) étant substituée dans (a) , donne pour y une valeur négative. Car alors la courbe coupera une première fois l’axe des x , avant d’arriver à ce point, et le recoupera une seconde fois au delà , puisque l’ordonnée finit par être positive et indéfiniment croissante. Si le minimum de y était nul, les deux racines de l’équation (i) seraient égales, et s’il était positif, elles n'existeraient pas. On voit par là que, pour que la question proposée soit possible , il faut que l’on ait l’équation (3) conjointement avec l’inégalité/ <[ o correspondante à la plus grande racine de cette équation. Il en résulte, par l’éliminaiion de e,

arc tang .r —

Le premier membre de cette inégalité est nul pour x — o. Sa dérivée est aussi nulle pour cette même valeur, puis elle devient négative quand x croit; elle redevient nulle pour la seule valeur x — \J 3, à partir de laquelle elle reste constamment positive. Le premier membre de l’inégalité commence donc par être négatif, devient nul pour une seule valeur de x qui est plus grande que y^3, puis reste constamment positif. On satisfera donc à l’inégalité par toute valeur de or plus grande que la racine positive de l'équation

arc tang x ' ‘ — — - -, = o.

On trouve facilement, pour valeur approchée de cette racine,

La valeur correspondante de e donnée par l'équation (3) est •

et l’on reconnaît facilement que la valeur trouvée de x est la plus grande des deux qui , substituées dans l’équation ( 3 ), donneraient celte valeur de r ; mais cela n’était pas nécessaire à vérifier, parce que le maximum dey est nécessaire- • ■

ment plus grand que zéro, puisque la courbe s’élève d’abord au-dessus de l’axe des x; d'où il suit que si une valeur . de x tirée de l’équation ( 3 ) donne y = o ouj<^o, cette valeur correspond au minimum de y , et ne peut être que la plus grande des deux racines de l’équation ( 3 ).

Toute valeur x' de x, plus grande que 2,6293, fournit donc deux valeurs positives pour X, entre lesquelles x' sera compris. Mais, en considérant la plus grande valeur de x* tirée de l’équation ( 3 ), ou Voit qu’elle varie en sens contraire de s; ainsi le problème aura deux solutions quaud on aura

2,6293 et «<o,ii 23 ; et il en aura une seule pour

X = 2,52C)3 Ct «=0,112.3;

x croissant indéfiniment, e tend vers zéro; si l’on remplace e par sa valeur, on 1

Cette inégalité fait connaître la plus grande vitesse angulaire qui soit compatible avec la figure d’uu ellipsoïde de révolution. • .

A cette limite de w, il n’y a qu'une seule figure possible. Si l’on fait décroître w à partir de cette limite jusqu à zéro, 1 une des valeurs de X augmente indéfiniment,

1 autre tend vers zéro. L’un des ellipsoïdes tend donc indéfiniment vers une sphère, et l’autre vers un plan; de sorte que pour w = o on n’a plus réellement qu’une solution , qui est la sphère. •

oeuxiKiiK p.vnrrp..

HYDROSTATIQUE

De l’équilibre des fluides /jetants.

1 to. Lorsque la pesanteur est la seule force qui sollicite les molécules d un iluidc homogène, ou a

; ,/jj = — fgilz, d'où p= —fgs + c-,

el si 1* désigne la pression correspondante à z = h , on aut a

Les surfaces de niveau sont des plans horizontaux, et la pression en chaque point ne dépend que de la hauteur.

Si la densité p était variable d'une manière continue ou discontinue, il faudrait qu’elle fût uue fonction de z , et l'on aurait *

1 16. Lorsque nous avons calculé les accroissements de la pressiou, en passant d’un point à un autre d’un Iluidc.' nous avons supposé ce fluide décomposé en parallélipipèdes • contigus, et nous avons cherché de combien croissait la ■pression eu passant d’une face à la face parallèle. Mais il est clair que, s'il existait dans le fluide des cloisons qui empêchassent la commuu ica lion des parties, ces raisonnements 11 e subsisteraient plus, ainsi que leurs conséquences.

Et , en général , lorsqu’il existe dans un fluide des cloisons qui n'interceptent pas entièrement la communication , mais qui la modifient, il est nécessaire d’examiner à quel point la théorie précédemment établie se trouve elle-même modifiée par leur présence.

Aiusi, lorsque la pesanteur est la seule force qui agit sur le fluide, nous avons vu que l'accroissement de la pression est nul en passant d'une face verticale d’un parallélipipède ’ • . .

à la face parallèle, mais en supposant que ce parallélipi-

a3o COURS UE MÉCANIQUE.

pède soit formé dé fluide sans interruption. D’où il résulte que l’on ne pourra affirmer que la pression est la même en deux points situés sur un même plan horizontal, que dans ' le cas où l’on pourra passer de l’un à l’autre par l’intermédiaire du fluide non interrompu , et en restant dans ce môme plan horizontal.

147. Cela posé, considérons divers liquides en équilibre dans deux vases qui communiquent l’un à l’autre par un canal que nous supposerons horizontal, pour fixer les idées. Menons un plan horizontal par le point le plus bas de ce canal, les liquides qui sont au-dessous de ce plan dans les deux vases pourront être soumis à des pressions très-différentes en des points situés sur un môme plan horizontal- Si maintenant nous menons un plan horizontal par le point le plus élevé du canal , la pression sera la môme en tous les points d’un plan horizontal intermédiaire quelconque; et, pour les plans supérieurs, elle pourra être différente dans les deux vases. Mais dans chacun d’eux les parties supérieures au canal seront soumises aux lois démontrées précédemment, et elles ne seront assujetties l’une par rapport à l’autre qu’à la condition de produire une môme pression sur le plan horizontal mené par le point le plus élevé du canal.

Et de môme, les parties situées en dessous du canal seront soumises à l’action d’une pression égale, à leur partie supérieure, et satisferont, indépendamment l’une de l’autre, aux conditions générales de l’équilibre.

Ces considérations s’appliquent à la théorie des siph ons, des baromètres, des niveaux, de la presse hydraulique, etc.

148. Pression sur les parois. — Considérons d’abord une paroi plane, et partageous-la en éléments infiniment petits d\. Désignons par z la distance d’un quelconque d’entre eux à la surface extérieure du liquide, que nous

deuxième i-artie. • — hydrostatique. a3l

supposerons homogène. La pressiou produite par le liquide sur l'élément r/X, indépendamment de la pression extérieure exercée sur la surface, sera gpzd}., et la somme de toutes les pressions sera

gfizd\, on gpAz t ,

A désignant l’aire de la paroi et z, la distance de son centre de gravite à la surface du liquide. D'où il résulte que la pressiou restera la même, quelque position que prenne la paroi , pourvu que son centre de gravité reste fixe.

Celle pression est tout à fait indépendante de la forme du vase, et l’on peut produire, sur le fond du vase, une pression considérable avec un poids très-faible de liquide, pourvu que la distance à la surface libre soit très-grande.

Quant au point d’application de la résultante de toutes les pressions, auquel on a donné le nom de centre de pression, on le calculerait par la théorie ordinaire du centre des forces parallèles. 11 est facile de voir qu’il est situé plus bas que le centre de gravité de Faire. En effet , menons par ce dernier une horizontale dans le plan de la paroi; elle en partagera l’aire eu deux parties dont les moments, par rapport à cette horizontale, seront égaux. Mais les pressions exercées sur la partie de la surface située au-dessous de cette ligne donneraient, par rapport à elle, un moment plus grand que celles qui s’exercent sur la partie supérieure ; car, en concevant la surface totale partagée en éléments égaux , les pressions exercées sur chacun de ceux de la partie inférieure seront plus grandes que les plus grandes de celles qui ont lieu dans la partie supérieure. Or, si l’on prenait toutes celles-ci égales à la plus grande d’entre elles, qui se rapporte aux points situés sur l’horizontale menée par le centre de gravité, et toutes les autres égales à la plus petite d’eutre elles, qui se rapporte aux points situés sur cette même horizontale, les sommes de moments seraient égales. Donc, en

23a COURS DE MÉCANIQUE.

les prenant telles qu’elles sont, la somme des moments est plus grande pour celles qui se rapportent à la partie inférieure j donc le centre des forces de pression exercées sur la paroi est au-dessous de l'horizontale menée par son centre de gravité; ce qu'il fallait démontrer.

Pour connaîtredcs coordonnées de ce point, il faut calculer, par rapport aux trois plans coordonnés, la somme des moments des pressions exercées sur chaque élément de la paroi, et la diviser par la somme des pressions.

Considérons d’abord les moments par rapport au plan des a: et y.

Représentons par d\ un élément infiniment petit de la paroi; la pression qui s’exerce sur lui sera gpzd~k, et son moment aura pour valeur gpz'dl. Si donc on désigne par x',y',-z' les coordonnées du centre de pression, par x, ,y , , z t celles du centre de gravité de la paroi , et par A son aire, on aura

iï’dX =r flzrtk = As'z,,

les deux intégrales 2 s’étendant à tous les éléments de la paroi.

On trouvera de même, en prenant les moments par rapport aux deux autres plans de projection ,

t jzd à = A y" z, , 2 xzd \ = A x' z^.

Les coordonnées du centre de pression ont donc pour valeurs

, lxzd\ , lyzd'k , îs'dX

y -~T7T' l=£ ~kïT

149. Considérons, en particulier, le cas d’un trapèze dont les bases sont horizontales. Il est facile de reconnaître que le centre de pression est situé sur la ligne qui joint le milieu des deux bases; de sorte qu’il suffit de connaître une

DF.UXIKMK PAHT1K. — UYlinOSTATlyCD . 233

des trois coordonnées de ce point , par exemple z'. Pour cela, partageons le trapèze en tranches infiniment petites comprises entre des parallèles aux bases , la somme £ z l dl pourra s’obtenir en multipliant la surface de chacune de ces tranches par la valeur correspondante de a’, et faisant la somme de ces produits dans toute l’étendue du trapèze. Soient a la base supérieure du trapèze, b sa base inférieure, h sa hauteur, u la distance d’une tranche quelconque à la base supérieure, c la distance de celte base au niveau du liquide, et y l’angle du plan du trapèze avec le plan horizontal. L’aire d’une tranche quelconque aura pour expression

et l'on aura

s = c 4 - « sin 7.

11 faudra donc calculer

> /(c-t-nsiny)’^*

cl diviser le résultat par A z i: ou par

du ,

(c -+- «, sin y)- r

011 connaîtra ainsi

ou c -+- u sin 7.

l.a valeur de u? déterminera la position du centre de pression dans le trapèze, plus commodément que z' . Eu effectuant les calculs indiqués , on trouve

, {a -f- 36 ) sin 7 -H 2/ir (« -+• zb)

ih (n -f- 2 b) sin 7 H- 6c (a + £) *

si I on a cq=o, c’cst-à-dire si la base supérieure est au

a34 ('.OURS DE MÉCANIQUE.

niveau du liquide, ou a

Dans ce cas, le centre de pression est indépendant de l 'inclinaison de la paroi.

Si eu mémo temps ou a

u — o, ou l/=o, on trouve, dans le premier cas, u' ■ coud , n' = -•

et , dans le se-

Le trapèze est alors réduit à un triangle : dans le premier cas, son sommet esta ileur d’eau, et, dans le secoud, c’est sa base qui s’y trouve.

Si a = b, la paroi a la forme d’un parallélogramme, et l’on trouve

150. Les pressions exercées sur une paroi courbe ne sout pas toujours réductibles à une seule force, parce qu’elles ne sont plus parallèles ; mais , comme elles sont appliquées à un système rigide, elles sont toujours réductibles à deux forces au plus. L’expression de chacune des pressions élémentaires étant connue, ainsi que les coordonnées de son point d’application , on pourra toujours, par les méthodes ordinaires , les réduire à trois forces dirigées suivant les axes de coordonnées, et à trois couples ayant leurs axes dans ces mêmes directions. On verra alors si la condition nécessaire pour qu’il y ait une résultante est remplie, et, dans ce cas, on la déterminera facilement. Dans le cas contraire, le système des forces se trouvera réduit à une force et un couple, et l’on pourra , si l’on veut, le réduire à deux . forces seulement. ...