DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE

que l’on aura w* = u , et c’est ce que l’on peut vérifier immédiatement.

Enfin, pour les vitesses angulaires plus grandes que y'fi, c’est-à-dire telles que l’on ait o>’ p, on a des hyperboloïdes à deux nappes ou à une nappe, suivant que c sera négatif ou positif.

Dans tous les cas, la valeur de la constante sera déterminée en calculant le volume de liquide compris entre la surface du vase et une des surfaces de niveau , et en l’égalant au volume de la masse donnée du liquide.

Dans le cas de w* p , la grandeur de ce volume détermine non-seulement la valeur absolue , mais encore le signe de celte constante , c’est-à-dire fait connaître si l’hyperboloïde est à une ou à deux nappes ; et il est facile de s’en assurer généralement.

Pour cela, considérons une valeur quelconque de w et prenons pour c une valeur négative; l’hyperboloïde sera à deux nappes, et la surface libre du liquide sera concave, sans quoi la pression n’y serait pas dirigée vers l’intérieur. Si nous faisons décroître la valeur de c jusqu’à zéro, le cône asymptote restera le même la surface de l’hypcrboloïde s’en rapprochant continuellement, le volume qui s’y termine diminuera et tendra à se réduire à celui qui sera terminé au cône. Actuellement, partons d’une valeur positive de c, l’hyperboïoïde sera à une nappe, et la surface libre du liquide sera convexe; de sorte que, si nous faisons diminuer c, le volume du liquide compris dans le vase ira en augmentant , parce que la surface qui le termine se rapprochera de plus en plus du môme cône, auquel elle sera extérieure ; et pour c = o, ce volume acquiert sa plus grande valeur, qui est précisément la môme que la plus petite pour les hyperboloïdcs à deux nappes. D’où il suit que, parmi tous les liyperboloïdes des deux espèces , il n’y en a qu’un seul , et il y en a toujours un

si le vase est indéfini , qui corresponde à une niasse donnée de liquide et à une vitesse angulaire donnée, plus grande que fr

Équilibre d'une masse fluide dont les molécules s attirent mutuellement et sont animées d un mouvement de rotation uniforme.

lit. Dans les questions précédentes, la force qui sollicitait chaque molécule était connue, et indépendante de la position des autres; mais dans le cas actuel il n’en est plus ainsi , puisqu’une molécule quelconque étant attirée par toutes les autres, la résultante de ces actions dépendra nécessairement de la figure du liquide; et comme cette figure est inconnue, les forces désignées par X, Y, Z le sont également, et le problème devient d'une difficulté beaucoup plus grande.

Lorsque le liquide est homogène et que l'attraction est en raison inverse du carré de la distance, on ne peut encore résoudre le problème qu’en supposant une vitesse angulaire très-petite, qui donne au liquide nue forme peu différente de la sphère. Mais 011 peut toujours vérifier que la figure d’un ellipsoïde de révolution satisfait à la condition de l’équilibre, pourvu que la vitesse angulaire ne dépasse pas une certaine limite. M. Jacobi a été au delà, et a démontré qu'un ellipsoïde dont les trois axes sont inégaux peut aussi, convenir; mais cette discussion nous entraînerait trop loin, et nous nous bornerons au cas de l’ellipsoïde de révolution.

Soit.

l’équation d un ellipsoïde de révolution autour de l axe des

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