DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 2(j
le même temps par la face inférieure ; l’excès de la première quantité sur la seconde, divisé par le volume u>dz, donnera l’accroissement partiel de la densité par rapport au temps On trouvera ainsi
dp d.pau w — -4- — - — dt dx
Enfin, en supposant la température constante, on aura
P * *Pi
h étant nne constante donnée.
Ces trois équations déterminent p , p et u en fonction de t et x.
Si l’on élimine p , on aura
X dp p dx
du
lit
du
'JP
dt
.poiU
dx
Ces équations aux différentielles partielles ne sont pas intégrables sous forme finie. Mais ce qu’il est surtout important de connaître , c’est la vitesse de l’écoulement , lorsque la pression et la vitesse sont devenues constantes en chaque point; ce qui arrive assez promptement, en supposant que le vase communique avec un réservoir qui renouvelle le gaz et détermine à la partie supérieure une pression constante.
On a alors ^ = o, ^ = o, et les équations précédentes deviennent
kdp
pdx
du
u di=°’
d.pau
dx
Les intégrales de ces deux équations sont
putt=ZC, Xlog p-h — = c',
c et c' désignant des constantes arbitraires.
2g4 COURS SB MÉCANIQUE.
Soient P, U, O la pression, la vitesse et l’aire de la section, relatives à la partie supérieure du vase; P', LT, O leurs valeurs à l’orifice, on aura
PUO =.c, 2 k log P +U ’=2 ri,
P'U'O' = C, 2* logP' + U'*=2ri.
Ces quatre équations détermineront les constantes c, ri, ainsi que les vitesses du fluide à l’orifice et au sommet.
En éliminant c et c', on obtient
U ' = FÜ 7 ’ U ’ U'’ = U’-f-2*log£;
et éliminant U', on trouve
L’orifice O' étant plus petit que O , et la pression P' étant aussi moindre que P, sans quoi l’écoulement n’aurait pas lieu, les deux termes de la fraction sous le radical sont positifs, et U est nécessairement réel. La valeur de IJ' se déduit de celle de U , et l’on trouve
Les valeurs de c, c' s’en déduisent facilement, et par conséquent les valeurs de p et u seront déterminées en fonction de ta et, par suite, de x.
Si l’on suppose — très-petit, on aura U très-petit, et
U' == y/ 2 A logp. Telle est la vitesse d’écoulement d’un
