DEUXIEME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 3 ' 2 ' J
cl «elle condition peut èlrc admise, puisque '■}■ (a ) est entièrement arbitraire en dehors des limites o el /. On fera usage, à ect clfet , de la formule suivante (Cours dAnalrse) :
[ x ) sm n — a a ,
ïW = *2, sin " T /
el l’on voit qu’on satisfera à la condition (7) en prenant
nx
( a ) sin « — a a
Pour satisfaire à l’équation (8), il faudra faire usage d’une formule de développement où n’entrent que les cosinus des multiples du je; «'cia suppose que l'on ait
cl l’on peut s assujettir à celte condition, puis«|ue la fonction £ est arbitraire en dehors des limites o et /. On emploiera, à cet effet, la formule suivante (Cours d' Analyse) :
ira
a ) cos n — du.
= ?( a ) f,st + ^2, cn * n ~j- J ?(
Or, dans le cas actuel on a
- J ? (a)da = — -/*(«)'/* = o,
car la condensation moyenne dans le gaz du tuyau est nulle, puisque les tranches extrêmes sont restées immobiles. O11 satisfera donc à la condition (8) en prenant, pour toute valeur entière de n , autre que zéro,
v nu
y ) cos n y dx.
COURS DK MKC.ANÏQUF.
3iH
l es formules ( 5 ) et (6) deviennent ainsi
on
l o sir
(9) " = 7 - si nn —
2 TT JC
(10) •/ — -ïeosn —
irt T 1 . , «JT* ,
— J x(*) cos — «“
i ««jt/ r' . .
J -+- cos — - — I ijn a) sin — —
rir/ r 1 «tra
' )i, iD îeL' I
l « ‘Jo 1
Un reconnaît immédiatement que si pour une même valeur de t on considère des valeurs de x, différant les unes des autres de la quantité 2/, les valeurs de u et y qui leur correspondent seront les mêmes. Ces fonctions sont donc périodiques relativement à x, et la période répond à l’étendue il sur l’axe des x. Si , de même, on laisse x constant, et que 2 /
l’on fasse varier / de - 1 u et 7 conservent encore les mêmes a 1
valeurs; le mouvement de chaque point est donc périodique, et la durée de la période est — ■ •
Ces formules (9) et (10) sont celles que l’on obtiendrait pour un tuyau indéfini, en partant de l’état initial que l’on trouverait en faisant t — o. Cet état initial indéfini, et qui serait évidemment périodique, tiendrait lieu des conditions des extrémités.
207 . Si l’on considère eu particulier l’étal initial pour lequel la série se réduirait à un seul terme, correspondant à une valeur quelconque n , on aura ce que l’on appelle un mouvement simple du système. Un état variable simple, dans toute théorie, est celui où le changement, quel qu’il soit, se fait en tous les points, proportionnellement à une même fonction du temps. Les rapports sont alors les mêmes à tout instant.
