SI

pour x = /.

Ces deux conditions conduisent aux suivantes :

En changeant s en z -+- 1 dans l'équation (4) , on obtient F(a/-4-*)=/(— a),

3«4 COURS I»F MKCAMQrr.

et, d'après l’équation (3) ,

F(a/ + *)= — Fi*).

La fonction F ne reprend donc pas la meme valeur quand la variable augmente de il. Mais ces deux valeurs ne di lieront que par le signe. Donc, si l’on augmente de nouveau la variable de il, la fonction reprend identiquement sa première valeur. Elle est donc encore périodique, mais la période répond à l’intervalle 4 /de la variable.

Un reconnaîtrait la même propriété pour la fonction J\ en changeant z en z — l dans l'équation (4)- 11 suit de là que, dans le cas actuel, l’état du tuyau est encore périodique, mais que généralement il ue redevient le même qu’a-

près un intervalle égal à — i comme nous l’avions déjà démontré d’une autre manière.

Solution des questions précédentes nu moyen de séries trigono métriques .

20(5. Nous allons maintenant traiter la question du mouvement de l’air, ou d’un gaz quelconque, dans un tuyau fini, au moyen d une méthode très-féconde, et beaucoup plus commode dans la plupart des cas. Elle consiste à déterminer d'abord , non pas 1 intégrale générale de l'équation aux différentielles partielles, mais un nombre infini d’intégrales particulières, que l’on assujettit à satisfaire chacune aux conditions relatives aux limites du système. Si l’on a eu soin de préparer les équalious de manière à ce qu elles ne renferment pas de termes indépendants de la fonction ou de scs dérivées, une somme d intégrales particulières, multipliées respectivement par des constantes arbitraires, est encore une intégrale de l'équation indéfinie, et elle satisfait encore aux équations aux limites si chacune des pre-

UKlIMtUF FAUTIF.

— I1YIIUUDYNAMIQUF. 3'-'.5

mières y satisfait. Il ne s’agit donc plus que de déterminer les constantes en nombre infini , i|ue renferme celte intégrale, de manière qu’en faisant t — o on obtienne l’état initial proposé. Nous allons reprendre, en suivant cette marche, la résolution des derniers problèmes.

i°. Mouvement d'nn gaz dans un cylindre Jeriné des deux côtés. — En employant les mêmes notations que précédemment, il faudra satisfaire aux conditions

« ■ s (la

— — = «’ — - • (Il ‘ r/x'

au

-j- = o pour x = o et pour

dJ~ — a 'x( x ) P our °-

On reconnaît immédiatement qu’on satisfait à f équation (i) en prenant

tf — ( M cos mx + N sin mx ) ( A sin amt -|- B cos ami ) ,

M, N, A, B, m étant des constantes arbitraires. Pour satisfaire à la condition (2), quel que soit t, il faut que la dérivée du facteur

M cos nix -t- N sin mx , ou — m ( M sin mx — iS cos mx ) ,

soit nulle pour x = o et pour x = /, ce qui donne les deux équations

• 1. « an

N=o, sin ml — o , u ou m = — ,

n désignant un nombre entier quelconque , positif ou négatif. Mais 011 peut se borner aux valeurs positives , parce que les valeurs de ÿ correspondantes aux valeurs négatives de n

ne différeraient pas des premières, vu l'indétermination des coefficients.

Désignons par £ une somme relative à toutes les valeurs entières et positives de n ; supposons que A et B changent arbitrairement avec n , et supprimons le facteur M qui est inutile; nous aurons une intégrale plus générale de l’équation (i), satisfaisant aux conditions relatives aux extrémités du tuyau. Cette intégrale est

nttx i rut rr t finit t \

f=zï cos — - — I A sin — 1- 15 cos — — j •

Si nous différeutions celte expression par rapport à x et i pour en déduire u et y qui donnent la solution de la question, et que nous remplacions par A et B les constantes

... . nu ntt

arbitraires A — ? Il— < nous aurons

nttx ( antt t annt\

u = — £ sin — - — ^ A sin - ^ — -t- B cos — - — )

nttx / an i

fi y = — £ cos — - — ^ A cos — -

anitt . antt t \

- B sin — - — 1 ■

Si nous faisons l = o dans ces expressions, les équations (3) et (4) donneront, pour déterminer A et B, les conditions suivantes :

. , „ . nttx

(7) Z B stn — — = — '!>(■*).

(8) £ A cos — - — = — a%(x).

Pour déterminer les coefficients B, nous développerons la fonction iji(x), qui est donnée de x=o à x — l seulement, en série procédant suivant les sinus des multiples de .r. C’est supposer que l’on ait