I.a durée de la vibration est, dans ce cas, — au lieu de

Les valeurs de u sont nullcs pour toutes les valeurs de x qui satisfont à l'équation

. nui

sin — - = o,

et sont renfermées dans la formule

kl

À étant un nombre entier.

Les points où le gaz est immobile dans le tuyau, ou les nœuds, sont donc tous ses points de division en « parties égales.

Les points où la condensation est nulle, et qu on appelle ventres, seront donnés par l’équation

d'où x =

ils sont donc situés aux milieux des intervalles successifs des nœuds.

208. a". Cas oit le tuyau est ouvert à scs deux extrémités. — Les équations relatives aux extrémités sont , dans

ce cas,

couns 1»F. MECANIQUE.

il a

~~ ~ o pour x

o et pour x = /.

Les autres équations sont les mêmes que dans le cas précédent, cl l'on aura une valeur de <p satisfaisant à tout, excepté à l'état initial , en prenant

. fljrx / . an -k t annl\

f = ïsin— — ^Asin — 1- Beos — - — 1»

la somme £ se rapportant à toutes les valeurs entières et positives de n ; et A, B étant des constantes arbitraires, variant avec n.

On déduit de celle valeur de f les expressions suivantes de u et y, qui sont les seules dont on ait besoin et dans lesquelles les indéterminées A et B diffèrent par le facteur ~ de celles qui entrent dans y :

ni xx ! . annt annt\

n = i cos — — I A sin — b B cos — - — ) »

ni xx f annt . annt\

a y = — ïsm — — I A cos — - — — B sin — — | •

Pour que ces valeurs satisfassent à l’état initial, il faudra que l’on ail, entre les limites .r = o et x — l, les deux identités suivantes :

ni i je

SB cos —j— = 4(jc|,

n n jc . ,

îAsm —j— — — a X[ x h

ce qui montre d’abord que les fonctions et y doivent être périodiques par rapport à x, et que l’étendue; de la période est ni ; que, de plus, la fonction conserve la même valeur quand on change x en — x, tandis que la fonction y prend une valeur égalée! de signe contraire, par ce même chan-