DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

gemeut. Or, toutes ces conditions peuvent être admises, puisque ces fonctions sont arbitraires en dehors des limites Xz= o, x —l.

Les deux équations précédentes donnent, pour une valeur quelconque de « ,

La valeur de II, relative à n = o, donnerait dans u le terme constant

qui n’est autre chose que la valeur moyenne de<J<(.x) ou de u, ou la vitesse initiale du centre de gravité du gaz renfermé dans le tuyau. Si donc on suppose que ce gaz et le tuyau fini qui doit toujours le renfermer n’aient pas un mouvement uniforme de translation dans l’espace, ce terme est nul , et il su (lira de considérer les valeurs de n depuis i jusqu’à l'infini; la solution du problème sera donc donnée par les formules suivantes :

On reconnaît immédiatement qu à une même époque quei-

COURS UK MM.AMyUt.

conque l’ctat du gaz est le même en des points dont la distance est 2 /. On voit, de plus, qu’en un même point quel-

conque l'état redevient le même après un temps égal à — ;

que, par conséquent, les vibrations sont périodiques en

chaque point, et que la durée de la période est — , comme dans le cas où les deux extrémités sont fermées.

209. Si l’on considère l'un quelconque des mouvements simples qui peuvent avoir lieu, il sera représenté par les équations suivantes, où n désigne un nombre entier quelconque, et A, 1$ des constantes arbitraires :

n tt x / anirt „ an n t \ h = cos — - — ^ A sin — h B cos — - — j ,

n tt x / . anirt amrt\

a y — sin — - — I B sin — A cos — - — 1 •

Comme il n'y a qu’un seul arc, - , les valeurs de u et •/

redeviendront les mêmes après un temps égal à — •

Les ventres seront donnés par l'équation

. n t; x . kl

sin — - — = o , il ou x = — »

À désignant un nombre entier quelconque. Ces points partagent donc le tuyau en n parties égales. Les nœuds seront donnés par l’équation

nir . r ... , , , l

cos — o , d OU x = ( ? k -t- 1 ) — •

Ces points sont donc situés aux milieux entre les \ entres successifs.