DEUXIEME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. JJ

l'autre. — Supposons, en dernier lieu, que le tuyau soit ouvert à l'extrémité située à l'origine, et fermé à l’autre. On devra avoir alors

— = o pour jt — a,

Ht

— 1 — o pour x = l y dx

et l'on satisfera à toutes les conditions, excepté à celles de l’état initial, en prenant

— y cm : ’ ; A sin

<p = i sin

(2/1 -f-l) iraf

A et B désignant des constantes arbitraires, variant avec», et la somme Z se rapportant à toutes les valeurs entières et positives de n. O11 déduit de là pour 11 et y les valeurs suivantes, dans lesquelles A et B désignent de nouvelles indéterminées, qui dill’èrent des précédentes par le fac- ( 2/1 l) n

lonr v '

(2/î -f- 1) nx | 4 . (2/i-i- i)îrnr ^ ( 2 /M- i)?r/?r )

« = 2 cos i { A sin 1- Beos } ,

2/ I 2/ il )

. ^n+ilîrxl (2 n 4- 1 1 r.at . . (1 n+ 1 ) it at l

n 7 = — 2sin — <A cos' ’ Bsm' {

il \ il il )

Pour que ces expressions satisfassent à l’état initial , il faudra que l’on ait, entre les limites x = o, x — l, les deux identités suivait tes :

2 B cos

A . (in -h i)itx

2 A sin- = — n/l x).

C<“s équations exigent que les fonctions iji (x), (x), con-

sidérées dans 1 étendue indéfinie de l'axe des x, soient

334 COl'RS I>K MF.CAMQUK.

telles que, lorsqu'on y change x en — x, la première reste la même, et la seconde la même au signe près; que les valeurs / - 1- ot et l — y . , prises pour x , donnent pour i|/ (x) des valeurs égales et de signes contraires, et pour ^ (x) des valeurs égales et de même signe; et qu’ enfin ces fonctions soient périodiques par rapport à x, l’étendue de la période étant 4 /• Ces conditions peuvent être admises, puisque ces fonctions ne sont données qu’entre x = o,x = /, et cet état initial assurerait les conditions des extrémités en supposant le tuyau indéfini dans les deux sens et le gaz entièrement libre.

Les valeurs générales de A et R, propres à satisfaire aux équations précédentes , sont

) cos - — - — a y ,

2 a r l lin l)>ro.

T J - r 1 dx.

La solution de la question sera donc donnée par les formules suivantes :

2 fin -4- I ) irx

-2 cos! / —

I il