DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

dans un intervalle a / pour x, et — pour /. La durée de la

période est donc double , dans ce cas , de ce qu'elle était dans les deux cas précédents, et le son fondamental rendu par ce tuyau est d'une octave au-dessous de celui que rendrait un tuyau de même longueur, ouvert ou fermé des deux côtés.

211. Si l’on considère le mouvement simple correspondant à une valeur unique quelconque de /», la durée de la

période sera ; — : —

Les nœuds seront donnés par les racines de l’équation :5fl + l)ir

cos — 77 = °’

cpii sont représentées par la formule

A désignant un nombre entier. Les distances des nœuds à l’origine sont donc respectivement

2 fl + I 2 fl -|- l 2/I-t-I

ils sont distants les uns des autres de ■> et, par con-

séquent, à partir du premier, on a comme une suite de

tuyaux d une longueur égale à > et dont les deux ex-

trémités seraient immobiles et pourraient, par conséquent, être considérées comme fermées.

Ixs ventres ont pour abscisses les racines de l'équation

(2 n ■+■ I ) ir 2:

COUKS UK MECANIQUE.

ces racines soin représentées par la foi mule suivante, dans laquelle A désigne un nombre entier indéterminé :

2 kl

Les distances des ventres à l'origine, dans toute l'étendue du tuyau, sont donc respectivement

il Ll i ni

2/j -+ i 2 n -+ i in -+ i

Ce sont encore les points milieux entre les nœuds succès-

sifs ; ils sont distants les uns des autres de , et le gaz

compris entre deux ventres consécutifs est dans le même cas que s’il se trouvait dans un tuyau ouvert aux deux

bouts, qui aurait pour longueur

Du mouvement dans un </az indéfini dans tous les sens.

212. Considérons maintenant les petits mouvements des molécules d’un gaz homogène indéfini dans tous les sens; nous aurons l’équation précédemment démontrée

dr \

dF

Il n’y aura, dans ce cas, aucune condition aux limites, puisque le fluide s’étend à l’infini dans tous les sens; mais il faudra toujours satisfaire à l’état initial , ce qui exige que

~i F i ~ et deviennent des fonctions données arbitlx dy dz dt

irai rement des variables x, y, z, lorsqu’on y fait t = o, Or, les trois dérivées partielles d une fonction x,y, z étant données, la fonction elle- même est connue à une constante près dont il est inutile de tenir compte dans la quest ion ai -

m: IX U. MF PARTIE. H TORODVNAM IQliE, 33?

luelle; d'où il suit que l’état initial étant donné, on connaît

fi O *

lés valeurs de y et ~ pour t = o. Ainsi, en désignant par

F et y des fonctions arbitraires.de x, r, z, Us conditions de l’état initial seront exprimées par les équations

la question se réduit donc à satisfaire aux équations (i) et (a). C’est ce que l’on fera au moyen de la formule suivante, qui a été donnée pâr Poisson :

4*Jo Jo . \zyor sin S sin $ )

4“ dt

. . , , J.t-hat cosO, r-)-iifsin0cosi{(,\

tSIB0rf0^4-/( .... ]•

\ z-\~at sin 0 sin -f. )

Les intégrations, par rapport à 0, sont faites entre les limites • o et ît , et celles par rapport à <p , entre o et a 7r. .Cette valeur de y peut encore être écrite comme il suit;

I o = tdv» F(a: + ni cosa, r-\~al cosS, z-f-atcosv), - -t- 7 — -^/rfwy(x-+-afcos:t, r-+-at-cos 6 , î-t-afcos7),

qirat K ;

du désignant un élément infiniment petit de la surface sphérique décrite de l’origine comme centre avec un rayon égal à l’unité; a, S , y désignant les angles formés par le rayon vecteur mené de l'originel un point de cet élément , et les sommes S se rapportant à tous les éléments de la surface de la sphère. -

■ Cette importante formule est,d’ une application très-commode lorsque les fonctions F et y sont données, comme dans le cas actuel , pour toutes les valeurs réelles des variables .r, y, z; mais si lo- fluide était limité, les conditions