L’analogie de cette question avec les précédentes

J.ju CODAS DF. MÉCANIQUE . •

nous a déterminé à la placer à la suite, quoiqu’elle ne se • rapporte pas au mouvement des fluides.

Jusqu'ici nous avons considéré les fils comme inextensibles, ce qui est purement fictif; nous supposerons maintenant qu’ils soient susceptibles de s'allonger sous l'influence de forces qui y produisent une tension quelconque, et nous resterons dans des limites telles, que le fil ne se rompe pas et reprenne sa première longueur quand la force cesse d’agir. Dans ces limites, l’expérience démontré que l’allongement est proportionnel à l'accroissement de la tension.

Nous appellerons état naturel du fil celui dans lequel il se trouve quand il n’est sollicite par aucune force. Considérons, dans cet état, une longueur d’un fil homogène, égale a l’unité, et produisons dans ce fil une tension égale à l’unité de force; il s’allongera d’une certaine quantité J, . qui est une donnée nécessaire dans toutes les questions auxquelles il peut donner lieu. Si une tension égale à *l’unité était en dehors des limites dont nous avons parlé ci-dessus , on ne la produirait pas réellement dans le fil; mais, pour l’uniformité des notations, nous supposerons toujours que • l’on donne la quantité â dont s’alloq^erait l’unité de longueur du fil, soumise a unetension égale à l’unité, en suivant les mêmes lois que dans les limites de son élasticité. Seulement on devra -examiner, dans chaque application particulière, si l’on ne sort pas de ces limites, auquel cas les résultats de l’expérience ne pourraient s’accorder avec ceux qu'indiqueraient nos calculs.

214. -Soit AB ( fig . 16) un fil élastique homogène, dont les extrémités A et B sont fixes, et qui éprouve une tension t lorsqu'il n'est soumis à aucune action extérieure, et que, par conséquent, tous ses points sont dans la droite AB : soit e la masse de l’unité de longueur. Prenons le point A pour origine d’axes de coordonnées rectangulaires, et don-

deuxième rmit. — HvuRonVNAMiyitf ' 34 r

uons à l’axe des x la direction AB. Désignons par X , Y, Z les composantes de la force appliquée à tftus les points du lil , et rapportée à l'unité de masse : la question est de déterminer, pour un point quelconque du iil\ les valeurs de ses trois coordonnées, qui seront Constantes dans le cas de l'équilibre, et fonctions du temps t dans le cas du mouvement. " . . ’ 4

Considérons un point quelconque P du lil, dans l’état primitif où il ne s’exerce sur lui aifcunc action extérieure. Sous l'influence des forces X , Y , Z qui agissent sur tous ses points, il y aura un déplacement général : soit M la position, à un instant quelconque, du point matériel situé primitivement en P; nous, allons commencer par chercher l'expression générale de la tension du (il à ce point M. Pour cela , 'considérons de même un second point Q, situé dans l'état primitif à une distance ‘infiniment petite a de P, et qui se trouve en X à l imant où P est en M ; l’excès de la - longueur MX sur PQ, étant divisé par PQ ou a, donnera l'allongement , rapporté à l’unité de longueur, qu’a •subi le lil dans le voisinage du point P ; et il sera faefled’en déduire l'accroissement de la tension.

Désignons par x l’abscisse AP du point P dans l’état primitif, et par .x -h u, y, t les' coordonnées de M ; les trois quantités infiniment' petites u, y, z seront les inconnues de la question; elles seront des fonctions de x dans le cas de l’équilibrq, ut des fonctions de x et / dans le cas du mouvement; x est constant dans le mouvement du même point matériel , et change quand on passe d'une molécule à une autres ‘ - .

* La différence MA — PQ étant très-petite par rapport à PQ, en ne pourra négliger dans son expression que les quantités très-petites du Second ordre par rapport à PQ. Or, en. ne considérant que les cas où les angles des divers éléments du (il avec l’axe des .t restent très-petits, on pourra .

négliger la différence entre MN et sa projection sur l’axe des x; et, par ébnséquent , si l’on désigne par u' ce que devient u au point Q, on pourra écrire

MN — PQ = h '— u .

Mais u' n’étant autre chose que u dans lequel on remplace x par x -4- « , on aura

, du

« — « = — «, dx

en négligeant les termes infiniment petits par rapport au premier. En divisant cet accroissement par a, on aura , d’après ce qui a été dit, l’allongement positif ou négatif, rapporté à l’unité de longueur, qu’a subi le fil au point dont l’abscisse est x dans l’état primitif ; l’expression de cet allongement est —• Or, l’accroissement de longueur étant proportionnel à l’accroissement de tension, ce dernier aura, pour valeur ^ ^vet, P ar conséquent, si nous désignons par

T la tcîision qui a lieu au point M à un instant quelconque, on aura

i du ’

T = r+ JÏr'

Connaissant maintenant l’expression générale de la tension, où suivra la même marche que dans le cas des fils non élastiques. On considérera un élément infiniment petit MN, et' l’on cherchera d’abord toutes les forces extérieures qui agissent sur lui. Ces forces sont les tensions èn M et N, dirigées en dehors de l’élément, et les forces X, Y, Z dont la valeur n’a pas changé sensiblement par le déplacement infiniment petit des points; ces dernières donneront pour 1 élément PQ , et , par conséquent , pour MN , les trois composantes -•

ai X, a t Y, ai Z.

Soient maintenant , p. , v les angles que fait avec les axes

HYDRODYNAMIQUE.