COURS I1V

puissances de a, c, y, . . . . En observant d’ailleurs que les

coordonnées a , b , c , . . . , satisfont à ce.s mêmes équations.

. ... • di, dL , , , : , '

on aura ainsi , en désignant par--, -rr-,..., Icsclerivees par ° * du du 1

rapport à X , J,.... dans lesquelles on remplace x , y,. .

par a ,

rfL da d M da

dL, dL' dL ,

db

'de

da'

dlS d N N r/N ,

Désignons par A, 1$, C, A',... les valeurs des fonctions X, Y, Z, X',... dans les positions d’équilibre de tous les points; on aura, dans une position voisine quelconque ,

dX ' db

d Y db

(3) - / „ d Z dZ

dX

X = A 4- — a da

d Y da

Y = JK 4- — a 4 -^ G 4- ‘ y +

i/X de d Y de

dX du 7 '

Z = C 4- — a da

, , dX!

X = A H — — - a da

db

L’équation générale qui détermine le mouvement du système sera , cil observant que l’on a

~dr

d’ a df •"

rf’.r

de

lIVI>ROI>VNAMH>l F..

UEI’XIKMF. PARTIR. — U VÜROUVXAMIQUR. 34 <1

les quantités dx , i j, d z , dx 1 ,... satisfaisant aux condi-

tions

— îi + — 3y — — Jz -t- . . . = o,

dx dy . dz

d M , d M . dM ,

- — 3x -| — — 3 y -h — — 3 z -+- • . .'= o, dx dy dz

dVi , dli , d N ,

nx f// rfZ

Dans ccs équations (5), les coefficients diffèrent de ceux des équations (a) de quantités linéaires eu a , 6 , y,....

Ainsi, par exemple, on a

d L dx

dL

du

(PL da 3

rf 1 L f/A

et de même des autres. Les équations (5) déterminent un certain nombre de d en fonctions linéaires des autres, qui resteront entièrement arbitraires. Les coefficients qui' affecteront ces derniers dans ces fonctions pourront se décomposer en deux parties : l’une finie, que l’on obtiendrait en faisant a = o, 6 = o, etc., et l’autre qui renfermera*linéai-.

rement les quantités très-petites a, 6, y, En se bornant

à la première partie, on aurait évidemment l’expression des d relatifs à la position d’équilibre du système.

Cela posé, si l’on substitue dans l’équation (4) les d tirés des équations (5), il faudra égaler à zéro les coefficients de tous ceux qui resteront et seront entièrement arbitraires. Mais il est facile de voir que ccs coefficients pourront toujours être réduits à deux parties : l une finie, et qui sera la

même que si les forces X, Y, Z,..., et les fonctions avaient les valeurs relatives à la position d’équilibre ; l’autre renfermant linéairement «, o, y,..., l ,r P"

35 o COURS DE MÉCANIQUE,

duits de ces dernières quantités entre elles étant toujours négligés. Mais la première partie est nulle dans chacune de ces équations en vertu de l’équilibre ; il ne reste donc que

la seconde, dans laquelle les quantités a, c, y,..., >

— — >••• entrent linéairement a tous les termes. dt'

Les équations ainsi obtenues devront être jointes aux équations (2); ces dernières déterminent un certain nombre des inconnues a, 6, en fonctions linéaires des

autres ; et si l’on suppose qu’on élimine ainsi celles dont les indices sont les plus élevés, et qu’on résolve ensuite les équations restantes, par rapport aux dérivées secondes, on arrivera définitivement à un système d'équations de la forme suivante, eu môme nombre que les inconnues «, 6,7, a' ... :

dt

- = m a -f- m x 6 -f- nt 7 y -f- m s a! . . , 9

dC

-— = px + p, 6 4- p, y 4- p, a'-h. .

dt

dt

— = m’ x 4- /«', 6 4- ni, y 4- /»', a' 4 - • . . ,

217 . 11 sera quelquefois utile d’exprimer les quantités a, 6, y, a',... au moyen d’autres variables indépendantes «, v, iv,..., très-petites comme les premières, et il est facile de reconnaître que les équations en m, v, vv,..., seront de même forme que les équations (6); car les expressions des quantités a, 6,... au moyen de 11, v, iv,... ne renfermeront que des termes où entreront les premières puissances de ces dernières ; et si l’on substitue ecs expressions et leurs