DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

fêta connaître le déplacement cherché du point M pour la même époque.

Si , dans le premier mouvement , nous désignons par ® J'angic variable formé par le pendule avec AZ, nous aurons (n° 308, tome I er ), au degré d’approximation auquel nous nous arrêtons,

(a) f = acos.r

Dans le second mouvement , soit w l’angle fortné par le pendule avec AZ, et supjiosons que la direction de l’axe des y ait été choisie de telle sorte que la vitesse initiale k porte le pendule dans l’angle Z AY, correspondant aux valeurs positives de co ; nous aurons alors

(b) « = ■ sin .

en posant — = 6’.

Les équations (a) et (b), faisant connaître la position du point à chaque instant, déterminent toutes les circonstances de son mouvement.

220. Si l’on veut connaître les coordonnées rectangulaires du point M, il faudra calculer son x au moyen de l’équation (a), et son y par l’équation (b). La troisième coordonnée ne diffère de l que d'une quantité du second ordre. On la déduirait des deux premières au moyen de l'équation de la sphère; mais il est inutile de s’en occuper. Or, on a

■r = /sinf, j = /sinM,

ou, en négligeant les quantités très-petites du troisième ordre ,

. x—lf,

y = lu.

354 COURS ùf MKCAMQUIt.

On aura donc d'abonl

(r) x r= /acos.l

et, comme langt^ = -< il en résultera , S

tang y = - tang./

La valeur de ;■ , ou AP, se déduit des équations (c), en observant <iue r* = x* -+- y*; il en lésulle

/•’ = /’ ^or cos 1 . / y + E 1 si»'. / y/ ^ ^ ■

On en déduira la valeur de 1 angle 6 dont le sinus est - : on obtiendra ainsi

9’ = a 1 cos’ . /

Enfin. si l'on veut connaître la pt ojcétion de la trajectoire sur le plan x, y, il faudra éliminer / entre les équations (<■),. et l’on trouvera

ellipse dont les demi-axes sont ls r , te.

Tous ces résultats coïncident avec «eux qui avaient été obtenus dans les numéros déjà cités du premier volume. Il serait très-facile de généraliser cette question sous plusieurs rapports.

Ainsi, d'abotd, on pourrait supposer la vitesse initiale dans une direction quelconque sur la surface de la sphère. On la décomposerait alors en deux autres, l’une horizontale, l’autre dans le plan vertical passant par la position initiale. On aurait alors à considérer deux mouvements

. TtZCXlÈMK TABTIF.. — BTmODVMAMIQUB. . 355

simples qui ne différeraient des précédents qu 'en ce que dans l’état initial de l’un d eux il y aurait à la lois déplacement et vitesse.

Si le point pesant, au lieu d’ètre situé sur une sphère, était sur un ellipsoïde ayant un de ses axes principaux suivant la verlic.de, ou décomposerait le déplacement initial eu deux autres, parallèles aux deux axes horizontaux, et la vitesse initiale en deux autres, parallèles aux plans principaux. On chercherait alors le mouvement résultant du déplacement et de la composante de la vitesse, parallèlement à l’un des plans; ce qui ramènerait à un mouvement sur le cercle oscillateur de cette ellipse principale. On chercherait ensuite le mouvement sur le cercle osculateurde la seconde section, d’après le déplacement et la composante de la vitesse parai ièlemeut au sivond plan. On serait ainsi ramené à deux mouvements simples, que l’on composerait comme dans le cas précédent.

Enfin, si le point pesant était situé sur une surface quelconque, et très-peu écarté du point où le plan tangent est horizontal, on remplacerait celle surface par un ellipsoïde passant par ce point et ayant ses sections principales de même courbure et de même direction que celles de la surface en ce même point; et le problème serait le même que

le précédent. * " •

12121. Du cas où l'on introduit de nouvelles forces: —

Nous avous obtenu les équations (6) en supposant seulement • •• que les points du système aient été dérangés de leur position d’équilibre, et qu’on leur ail communiqué certaines vi- • lusses initiales. Maison généraliserait la question en introduisant de nouvelles forces, susceptibles de ne produire que des déplacements très-petits. C’est ce que nous allons faire maintenant , en supposant toutefois que ces forces 'soient indépendantes du temps ainsi que des quantités ... .. . . ' »3.

356 r.ouas m mécanique. •

a. 6, y , On arrive, dans ce cas, à des résultats géné-

raux qui méritent d'ètre remarqués.

11 est facile de voir d’abord que les équations différentielles de ce nouveau mouvement ne différeront des équations (6) que par l’addition de termes constants. En effet, il faudra dans l’équation (4) augmenter X, Y, Z,. . . , des composantes respectives des nouvelles forces, et, en continuant le calcul comme précédemment, on voit que les seconds membres des équations (6) se trouveront seulement augmentés de termes qui renfermeront chacun une de ces composantes au premier degré.

Les équations différentielles de la question actuelle se-! (•ont donc

-TT =H + »I» + I » , 6 -f m , y 4- 4- . . ,

cit •

-J-J = L 4- pà 4-/)i 5+.. . ,

Ces équations feront connaître a, 6, y, . . . en fonction de t , et les constantes arbitraires seront déterminées par l’état initial. Elles peuvent aussi faire connaître le nouvel état d’équilibre du système, après l’introduction des nouvelles forces. En effet, il suffit de supposer a, ë, y,. . . constants dans les équations (y) \ leurs seconds membres se trouvent alors égaux à zéro, et donneront les valeurs cherchées des déplacements de tous les points, qui conviennent au nouvel équilibre.