I.cs équations ( y ) peuvent être ramenées à la même

OEVXILME I-ARTIK. — HV I>ROI>ÏNAMiQUK. 3^7

forme que les équations (6), en posam

«m 6 ( , y i,... étant des constantes déterminées pat les équations suivantes :

H 4- m a, 4- ni, 6, 4- « 1 , 7 , 4 - . . . = o,

K -t- ft at, 4- /ï ( 6 1 4- n, 7 * 4- • . • — o ,

Les équations (7) deviennent alors, par la substitution des valeurs de a, S, . . . données par les équations (8),

— ///Ç 4 - m,n 4 - miÇ 4- /WjÇ 4-. . • ,

fit il 7 1 1

-^77 — «5 4 - n, a -+- «1 Ç 4 - • . . > fl 7 Ç

Les équations ne different des équations (6) que par le changement de a, ê, y, . . . en r,, . . . . On remarquera,

en outre, que les valeurs de a,, 6,, y,,. . que donneront les équations (y), sont précisément celles qui se rapportent à l’équilibre du système après l'introduction des nouvelles forces, et que, par conséquent, sont les dépla-

cements des points par rapport à cette position d’équilibre.

Enfin les équations (8) font voir que les valeurs initiales de sont les mêmes que celles de

fit <U dt 1

fia. d% il y dt' dt' lit

• •••> tandis que les valeurs initiales de £,

sont égales à celles de a, 6, 7,... respectivement diminuées de 6,, 7,,....

De là se déduit ce théorème remarquable cl simple :

'Lorsqu un système quelconque de points est très-peu dérangé d'une position d’équilibre stable, et quon y introduit, en outre, de nouvelles forces constantes et trèspetites, le mouvement de chacun de ces points par rapport à sa nouvelle position d’équilibre sous l’influence des premières et des secondes forces réunies , est le même que celui que l’on observerait par rapport à la première position d’ équilibre , si l’on donnait au système un état initial qui • Jût le même, par rapport à celle position , que l’état initial proposé est par rapport A la seconde position d’ équilibre .

Ce théorème, étant indépendant du nombre et des distances mutuelles des points, subsiste encore lorsque leur système peut être regardé comme continu. 11 aura donc lieu dans tous les petits déplacements des fluides ou des solides élastiques, et, par conséquent, dans toutes les questions que nous avons traitées précédemment.

223. On peut, à priori, se rendre compte de cette proposition, à laquelle un calcul très-simple vient de nous conduire. Nous remarquerons d'abord que, le nouvel état d’équilibre du système après l’introduction des nouvelles forces, étant très-voisin du premier, les équations qui détermineraient le mouvement lésultant d’un dérangement par rapport à ce nouvel état, ne différeraient pas des équations (6\\ car les coefficients ne pourraient avoir varié que de quantités de l'ordre de a, S,..., et ces variations ne produiraient dans les équations que des termes de l’ordre de ceux qui ont été négligés. De sorte qu’un même dérangement des points relativement à l’une ou l’autre de ces deux positions d’équilibre donnerait lieu, par rapport à elles, à des mouvements respectivement identiques pour chaque point : ce qui démontre le théorème précédent.

Dans le cas particulier où il n’y aurait pas de dérange-