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et

de sorte que la force

accélératrice à

On retombe ainsi sur les résultats trouvés précédemment

• DKUXIKMK PARTIS. — ItYNAMIQUK» 35

Si la force était dirigée vers le rentre Ü, ou aurait

C C' C’.OM »/ ' tj'R cos « y- R

! — — .OM = — t-.OM, 3 /? 5 a 1 b' '

résultat identique avec celui que nous avons déjà trouvé par l’analyse ( voir page 6).

19. Avant d’obtenir la démonstration de la loi de l'attraction des planètes, Newton l’avait entrevue par des considérations que nous allons indiquer, et qui, sans avoir le même degré de rigueur, ne laissaient pas que de donner de très-fortes inductions.

Les planètes décrivant des orbites d’excentricités dilférentes, on peut supposer, par aualogie, que les lois de Kepler, qui leur sont communes, s’appliqueraient encore au cas d’orbites circulaires : d’autant plus que les orbites réelles étant très-peu excentriques, on peut avec une assez grande approximation les regarder comme circulaires. Ainsi, on aura des résultats, sinon exacts, au moins fort approchés, en appliquant les lois de Képler au cas d’orbites circulaires. .Cela posé, la loi des aires indique toujours que la force qui agit sur chaque planète est dirigée vers le centre du Soleil. La seconde loi, qui, dans le cas général, prouvait que, pour la même planète, la force accélératrice variait en raison inverse du carré de la distance, montre, dans le cas actuel, que la vitesse est constante; car les arcs de cercle sont proportionnels aux secteurs et, par suite, au temps; ou encore la force est toujours normale à la trajectoire, et, par conséquent, la vitesse est invariable. Or, la force centripète,

appliquée à l’unité de la masse, a pour valeur — > v étant

la vitesse , et R le rayon «lu cercle; elle est donc constante. Ainsi , dans ce cas particulier, comme on devait le prévoir, la seconde loi n'apprend rien relativement à la variation de la force avec la distance; mais elle en donne toujours l’expression, au moyen du temps T de la révolution entière de la planète et du rayon de son orbite. On a, en effet, 2îrR = eT, et, par conséquent, en désignant par <j> la

force centripète en substituant à u sa valeur en fonction

de R et T, on aura

4 jr’R

! 4 ir 1 O 1 I

ce qui s'accorde avec la valeur générale — ■ — dans la-

quelle on supposerait r — a == R.

Passons maintenant à la troisième loi, qui, dans le cas général, étendait la loi d’attraction trouvée pour les diverses positions sur une même orbite, aux positions relatives à 'des orbites diflérentes. Dans le cas actuel , le résultat analogue que nous allons trouver ne sera pas une extension, mais bien la première manifestation de cette même loi. Soient y, <f' les forces accélératrices relatives à deux planètes quelconques, dont les distances au Soleil sont R, R', et les durées des révolutions T, T'. On aura, d’après les valeurs de <p et s>',

? • Ÿ ' • »J», ‘ fp/j ’

ofr, la troisième loi de Képler donne T' : T" : : R 3 : r\

Remplaçant, dans le second rapport de la proportion précédente, T* et T" par les quantités proportionnelles