DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE

iroduitcs par l'intégration des 3// — À équations diil'érenlielles seront ati nombre de fin — 2 h ; et on les déterminera par les données de l’état initial, c'est-à-dire au moyen des positions de tous les points , ainsi que des grandeurs et des directions de leur vitesse, à un certain instant, qu’on prendra pour origine des temps. Ces positions initiales ne sont pas entièrement arbitraires, parce que leurs coordonnées doivent satisfaire aux k équations données: de sorte qu’on ne peut se donner arbitrairement que 3 n — k de ces coordonnées. De même aussi, les composantes de leurs vitesses doivent satisfaire aux k équations qu’on obtient entre

cn dilférenliant les À équations données; d’où

il suit qu’on ne pourra se donner arbitrairement que 3 ri — k composantes des vitesses initiales. Ainsi, pour que l’état initial soit entièrement déterminé, ce qui est indispensable, il faut que l’on se donne 6n — 2 k quantités, qui peuvent être choisies tout à fait arbitrairement; mais ou ne peut pas s’en donner davantage.

Cela posé, quand on aura intégré le système des équations différentielles , on aura , pour déterminer toutes les coordonnées des n points, d’abord les k équations données, et ensuite 3 r» — À équations, renfermant 6n — a k constantes arbitraires. Ces 3n — k équations devant être satisfaites à chaque instant, on y fera t = o, et on remplacera les coordonnées par leurs valeurs initiales : il cn résultera 3 n — À équations entre les constantes et des quantités connues; les k équations restantes seront nécessairement satisfaites, pnisque l’on a dû choisir les coordonnées initiales, de telle sorte que les liaisons exigées eussent lieu. Différentiant ensuite les 3 n — k équations entre les coordonnées , on en aura un égal nombre entre les composantes des vitesses; et si l’on y substitue les valeurs initiales des coordonnées et de ces composantes, on aura 3 n — k nou-

8o COURS i>E MÉCANIQUE.

velles équations entre les constantes arbitraires et des quantités connues. On aura donc enfin 6 n — 2 f< équations pour déterminer les fin — 1 A constantes. On en pourra donc tirer les valeurs de ccs inconnues, et les coordonnées de tous les points du système seront complètement déterminées en fonction du temps.

Ce que Ion entend par forces instantanées. Leur mesure.

Détermination du mouvement qu'elles produisent. Superposition de leurs effets.

.42. Nous avons démontré, dans le n° 260, tome I, qu'une force constante pouvait être mesurée par la quantité de mouvement qu’elle a produite, divisée par le temps employé à la produire; d’où il résulte que pour produire une quantité de mouvement déterminée, il faut que la durée de l’action soit d'autant moindre que la force employée est plus grande, mais qu’il n’y a aucune force qui puisse y parvenir sans employer un certain temps. Néanmoins, si l’effet est produit dans un temps si court , que rien n’ait pu changer sensiblement dans les positions des points, on •*. pourra , dans la plupart des cas, faire abstraction de ce temps ; et pour indiquer cela , nous donnerons à la force le nom de force instantanée.

Pour mesurer, soit la valeur constante d’une pareille force, soit sa valeur moyenne, si elle est variable, on pourrait la rapporter à l’unité ordinaire, et l'on aurait pour mesure la quantité de mouvement produite, divisée par la durée de l’action. Mais cette durée n’étant pas appréciable, au moins dans le cas* où il peut y avoir quelque utilité à considérer ce genre de force, il vaut mieux ne pas l’introduire dans la mesure, et se borner à la quantité de mouvement. On supposera alors à l’action la durée que l’on voudra , pourvu qu'elle soit extrêmement petite; les