DEUXIÈME PARTIS. — DYNAMIQUE

siblc, soient posés sur deux plans inclinés dout l'intersection soit horizontale, et de telle sorte, que leur sytènicsoii toujours compris dans un môme plan perpendiculaire à cette intersection.

Soient m, m' les masses de ces points; 0, 0' les angles que les plans font avec la verticale; x, a/ les distances AB, AC ( fig . 5) de ces points au point A , commun aux deux plans, et l la longueur du fil.

Le$ forces qui produiraient sur les points libres le mouvement qui a lieu réellement seraient respectivement

, ... y et agiraient dans les directions AH, AK.

Celles qui agissent effectivement sont mg , m' g, et sont dirigées dans Je sens de la pesanteur. H doit donc y avoir équilibre dans Je système entre les premières forces prises en sens contraire, et les dernières prises dans le sens même de la pesanteur.

Pour exprimer cet équilibre, nous concevrons un déplacement virtuel infiniment petit quelconque, en observant qu’on peut regarder les points connue obligés à rester dans le plan AHK perpendiculaire à l'intersection des deux plans inclinés; car le mouvement réel ayant nécessairement lieu dans ce plan, on peut, sans y rien changer, supposer que les points sont assujettis à y rester.

Soient dx, dx* les variations de x, x 7 ; la somme des moments virtuels égalée à zéro donnera

d * , m — — S x dt 1

, d'x' dt *

Sx' - 1- mg eos 6 S x -| - m' g eus 0' Sx' xz o,

et comme on a il en résulte

Multipliant cette équation par À, et l’ajoutant à la pre- „

COORS DE MÉCANIQUE.

mière, puis égalant à zéro les coefficients de âx, ox', il vient

— ni + mg cos ’i 4- \ = o, — m' — — 4- nï g cos 0' 4- X — o,

d’où

— m 4- m' —jp 4- mg cos 0 — m' g cos 0' = o ,

^ = m ( S cos ® 4- ~jp j

et, observant que — ; — = — ,

* ilt 7 ih 7

ilt 7

d’où

(ni 4 - ni’) -jp- = g (m cos 0 — ni' cos 0' ) ,

' d 7 x m cos 9 — m ' cos 0'

dt 7 ^ m -h m'

On tire de là en intégrant, et représentant par v la vitesse du point m ,

de

dt

= v — gt.

ni cos 6 — ni' cos 0' m 4- m'

et 7 / ni cos 0 — m' cos 0' A

c et c' étant des constantes arbitraires qui se détermineront d’après l’état initial du système.

Soient x <> , les valeurs de x et e, pour t=^o, on aura

Si la vitesse i'„ est donnée ainsi que x 0 , le problème est entièrement résolu, puisqu’on connaît je, et par suite x' \ et la valeur de X mesure la tension du fil , qui sera constante. Mais si l’on donnait seulement x„ et les forces instantanées qui agissent sur les deux points matériels au commencement.

lîKI! XlfcME PARTIE. — DYNAMIQUE. 87

du mouvement, il faudrait déterminer les vitesses initiales en exprimant qu’il y a équilibre entre les forces mesurées par les quantités de mouvement acquises, et les forces instantanées prises en sens contraires de leurs directions. Soient*), */ les vitesses que les forets instantanées communiqueraient respectivement aux deux points s’ils étaient libres 5 ces forces seront mesurées par mu, et, en sui-

vant la même marche que précédemment , on trouvera

ilx ilx • / d . r \

m — m «# + m 6) = 0 . A = ni I — w I ,

fit fit \dt J

et, en observant nue — = — -?>

* rit fit

d’où

, , , dx , ,

I m -( - m } — — ni >,> — m w , ' fit

<lx m w — ni’ «' dt m -t- /«'

La valeur de X exprime la tension initiale produite par la percussion. Si l’on y remplace ^ par sa valeur que nous venons de déterminer, ou aura

— mm' m -t- m'

Si l’on suppose 6 = o, 0'~ o, le système n’est autre chose qu’une machine d’Alwood , dans laquelle on n’aurait pas égard à la masse de la poulie.

46. Considérons actuellement le cas on les deux corps réagissent l’un sur l’autre par l'intermédiaire d’un treuil, et se meuvent chacun dans tin plan perpendiculaire à l'intersection des deux plans inclinés sur lesquels ils sont posés. Les équations données par le principe ded Alembert seront alors, en désignant par r, r' les rayons des deux

COUSS DC MÉCAHIQUK.

sections ,

il‘x d' x' ,

— in -j-j- o x — m - jj + wg cos fltf x

dt’

/»' g cos 9' Jx' = o ,

d'où l’on déduit

il 1 x

— m — — 4- mg cos fl 4- X d — o ,

dt 1

— m "^T ■+* m 8 cos ® “•" * r = 0 •

Éliminant ). , et obseivant que --- = — - -rr» il vient

^ dt 1 r dt 1

rf’x (/ne cos 9 — m' / cos 9' ) r </f* h wjf’ 4- r '*

On achèverait la discussion comme dans le cas précédent.

47. Supposons maintenant une chaîne homogène posée sur les deux plans inclinés et glissant sans frottement, en restant dans un plan perpendiculaire à l’intersection des deux autres. Soient / la longueur de la chaîne , et s sa masse pour l’unité de longueur; on aura

et, par suite ,

Ji 4 - ix'= o,

Les poids des deux parties de la chaîne seront respectivement gex , gex', cl les forces qui produiraient l’accélération qui alieu seraient, pour chacune de ces parties , ex

e.r' - — - • Le principe de d'Alembert donne alors, en sup-