DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE. • f

duitcs par l’intégration, en y joignant de plus les conditions relatives à l’état initial et à la longueur du fil.

Si les forces appliquées aux extrémités sont nulles,et que ces extrémités soient mobiles, on ne pourra satisfaire aux équations (a) qu’en posant X, = o, X, = o, ce qui apprend que les tensions extrêmes seront constamment nulles.

11 faut excepter le cas très-particulier où le fil serait constamment perpendiculaire à la ligne ou à la surface sur laquelle unedeses extrémités serait assujettieà se mouvoir; on aurait alors, à cette extrémité,

dr, Sx, -+- dy, 3 y, dz, 3z, = o,

et il ne serait plus nécessaire qu’on eût X, = o. 11 en serait de même pour l’autre extrémité.

Si les extrémités sont fixes, les équations (a) sont satisfaites d’elles-mèmes. Mais alois on connaît x, , y , , z,, Xj,y„ z„ et l’on devra exprimer que les équations de la courbe sont satisfaites par ces valeurs, quel que soit <, ce qui contribuera à déterminer les quanti lés arbitraires.

49. On pourrait obtenir directement les équations précédentes. En ellet, si l’on désigne par T la tension en un point quelconque, l’élément ds sera sollicité par des forces dont les composantes totales parallèles aux axes seront

X</i + rf.T

dx <ls ’

Yds-yd T

ds

dz

Z ds -+- d.T — , ds

et le principe de d’Alcmbert appliqué à cet élément don-

nera

( z ~‘ iiï) ,L ' + dT t = ‘'’

94 COU BS UE mécanique.

équations qui ne dill’èrcnt des équations (i) que par le changement de — X en T.

A chacun des jjoinls extrêmes du fil il devra y avoir équilibre entre toutes les forces qui le sollicitent, en y comprenant la tension-, car un point géométrique sollicité par une force quelconque acquerrait, dans un temps fini quelconque, une vitesse infinie. Delà résulteraient des équations identiques aux équations ( 2 ).

50. Considérons le cas particulier d'un fil dont l’extrémité A (/«#. 6) est fixe, et qui passe en un autre point fixe B, sur lequel il peut glisser, et qui est à une distance / de A. Son prolongement est vertical et soutient un poids T qui mesure la tension du fil en un point quelconque, dans sa position d’équilibre, qui est la droite AB, si l'on suppose que les forces X , Y, Z soient nullcs. Prenons la ligne AB pour axe des x, et le point A pour origine.

Cela posé, si l’on écarte infiniment peu le fil delà droite AB, en supposant que les tangentes aux dillêrenls points de la courbe qu'il allée lera fassent des angles infiniment petits avec AB, il se trouvera allongé d une quantité infiniment petite du second ordre, que l’on pourra négliger. Si l’on abandonne ensuite chaque point à lui-même, en lui imprimant une certaine vitesse initiale, on peut déterminer le mouvement qui en résultera.

D'abord il suit de l'hypothèse relative à la position initiale, qu'en négligeant les infiniment petits du second ordre, chaque point se mouvra dans un plan perpendiculaire à AB, et par conséquent le point du fil qui était primitivement en B pourra être considéré comme immobile. Donc x sera constant pour le point qui correspond à une valeur quelconque de l'arc s , et I on a

~j~ = o, cl, par suite,

UF.UXIt.MK PARTIE. — DYNAMIQUE.

Mais on a'y = i, en négligeant les infiniment petits du

second ordre; donc <■/./. = o, ou /. = c, ce qui apprend que la tension ne varie pas et est constamment égale au poids T.

Les deux dernières équations (i) deviennent, en remplaçant s par x, ce qui est permis , d’après ce que nous avons dit ,

d’y T d'y d 1 z T ri’’ z

rit ’ e dx’ ' dO e dx*

Si l’on suppose, pour plus de simplicité, que la ligure initiale du fil soit renfermée dans un inéme plan , dans lequel on prendra l’axe des y, on n’aura plus à considérer que l’équation unique

d'y T d'y rit J i dx‘ ’

dont l’intégrale est

F ct /'désiguant des fonctions arbitraires qui se détermineront d’après les positions cl les vitesses initiales de tous les points du fil. Si la ligure initiale du iil est exprimée, entre A et B, par l’équation y — $ (jr), et si la vitesse initiale du point dont l'abscisse est x a pour expression (x), il faudra

que l’équation (3) donne y — (x) et (x) pour

/ = o, ce qui conduit aux équations

d’où l'on déduira facilement F (x) et J (x). an moyen de ® (x) et (y).