CHAPITRE XV

DU MOUVEMENT UEl-ATIF It’UN SYSTÈME.

51 . Si tous les points matériels qui composent le système étaient entièrement libres et indépendants les uns des autres, on rentrerait dans la théorie du mouvement relatif d’un point libre; et il suffirait d'introduire en chaque point les deux forces fictives, définies dans le n° 330, pour que le mouvement relatif du système fût ramené à un mouvement absolu.

52. Supposons maintenant que certains points du système soient assujettis seulement à rester sur des surfaces ou des courbes données, fixes ou mobiles, constantes ou variables de forme. 11 en résultera pour ces points des forces inconnues normales à ces surfaces ou à ces courbes. Si l’on en connaissait les valeurs, en les joignant aux forces données, les points pourraient être considérés comme libres, et l'on rentrerait dans le cas précédent. Il suffirait donc d’introduire en chaque point les deux forces fictives dépendantes du mouvement des axes, et l'on serait encore ramené au mouvement absolu. Mais, bien que ces forces normales soient inconnues, on peut toujours les introduire comme si elles étaient connues. Le nombre des quantités à déterminer sera augmenté; mais le nombn* des équations le sera également.

' DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE. (fl

Eu effet , les coordonnées d’un point assujetti à rester sur une surface doivent constamment satisfaire à l’équation de celle surface. Si le point est assujetti à rester sur deux surfaces ou, en d’autres termes, sur une courbe donnée, il s’introduit deux forces inconnues, normales à ces deux surfaces; mais, en même temps, on a deux équations entre ses coordonnées : de sorte que le nombre des équations augmentera toujours autant que celui des inconnues , et le problème sera entièrement déterminé. Les équations de ces surfaces ou de ces courbes pourront être données en fonction du temps et des coordonnées absolues ou relatives, et on les exprimera dans celui que l’on voudra de ces deux systèmes, au moyeu des formules de la transformation des coordonnées.

53. Si deux points du système étaient assujettis à rester à une distance constante l’un de l’autre, comme cela arrive souvent, il naitrait de là deux forces égales et contraire-, dirigées suivant la droite qui joint ces points et appliquées respectivement à chacun d’eux. En introduisant ces forces, les points peuvent être considérés comme libres, mais on devra exprimer que leur distance est constante; çe qui fournit une nouvelle équation en même temps qu'il s’est introduit une nouvelle inconnue qui est la grandeur de la force.

Ces conditions peuvent se multiplier indéfiniment. Le même point peut être lié à un nombre quelconque d’autres points, et assujetti à rester sur une ou sur deux sufaces. Chacune de ces conditions introduira toujours une inconnue et une équation , et le problème sera déterminé. De ce qui précède, on déduit la proposition suivante :

Lorsque divers points d'un s) sterne en mouvement sont assujettis à rester à des distances constantes les unes des autres, ou à demeurer sur des surfaces ou des lignes variables de position et de forme , le mouvement de ce système - -,

t)S COURS DP. MliGAKlQUP.. , '

relativement à trois axes mobiles, sera idetilique à un mouvement absolu qu'on déterminera de la manière suivante par rapport à des axes fixes : On fera partir le système rT un état initial identique à l’état relatif initial ; en appliquera d'abord en chaque point des forces dont les composantes seront exprimées par les mêmes fonctions du temps et des nouvelles coordonnées absolues , que les forces données le sont au moyen des coordonnées relatives ; orl y joindra les forces fictives telles qu elles ont été déterminées dans le cas d’un point libre : enfin , les points seront assujettis à conserver les distances données les uns avec les autres, et à sc mouvoir sur des surfaces ou des courbes ayant pour équations, par rapport aux axes fixes, les équations données exprimées en coordonnées relatives aux axes mobiles.

54. Cas général. — Les conditions que nous venons d’examiner sont celles qui se rencontrent le plus ordinairement. C’est pour cela seulement que nous les avons présentées en premier lieu, car nous aurions pu commencer par le cas, tout à fait général, dont nous allons maintenant nous occuper. .

Supposons que les liaisons du système soient exprimées par des -équations renfermant le temps et les coordonnées absolues x, y , z, x', f , z', x ”, y ", s",... d’un nombre quelconque de points, M, M', M",.... Nous avons démontré que le mouvement absolu sera le même que si l’on supprimait les liaisons et que l’on introduisit en chaque point des forces déterminées par les équations qui expriment ces liaisons. Ces forces , pour un point quelconque M ayant pour coordonnées .r, y, z par rapport à un système quelconque d’axes, sont normales aux différentes surfaces que l’on obtient à l’instant que l’on considère, en considérant .r, y, z comme seules variables dans toutes les équations