DEUXIÈME PARTIE. DYNAMIQUE. l3l

mont du centre de gravité, — est constant, et a la même

valeur avant et après le choc. Le premier membre a donc aussi la même valeur avant et après le choc ; ce qui donne cette première relation

(•) ai» + mf e' = ot V 4- ni' V',

quels que soient d’ailleurs les signes des quantités v, v', V, V', et soit que les corps soient mous ou élastiques.

Distinguons maintenant ces deux cas :

' i°. Si les corps sont entièrement dénués d’élasticité,

l’action mutuelle cessera lorsque leurs vitesses seront devenues égales et de même sens-, on aura alors V= V, et 1 équation (i) donne

On voit que les deux corps resteront eu repos après le . choc, si l’on a

c’est-à-dire si les quantités de mouvement sont égales, et les. vitesses de signes contraires.

On vériflerait facilement que la somme des forces vives après le choc est moindre qu’avant le choc, et que la dillérence est la somme des forces vives correspondantes aux vitesses perdues.

a°. Si les corps sont parfaitement élastiques, la somme des forces vives n’a pas été changée par le choc, et l’on a, par conséquent,

Les équations (i) et (a) déterminent V et- N ' au moyen de u, v' .

i3z cocas de jnêcAiOQcr.

Si on les met sous la forme

on trouve , en les divisant membre à membre ,

OU

ce qui montre que les vitesses relatives avant et après le choc sont égales et de sens contraires.

Les équations (i) et (3) donnent

(m — m') v ■+■ 2 mV m -h m'

(m' — m) v' - f- 2oii' * m -f- m'

Si les masses des deux corps sont égales, ces formules donnent

c'est-à-dire que, dans ce cas, les deux corps échangent toujours leurs vitesses.

Si l’un des corps est en repos, par exemple celui dont la masse est m', on trouve

v (m — m')» y , amc

de sorte que le corps en mouvement sera réfléchi s’il a une masse plus petite que l'autre et continuera, au contraire, son mouvement dans le même sens s'il a une masse plus grande. Dans l’un et l’autre cas, sa vitesse relative sera — y, comme il résulterait de l'équation (3).

Si l’on avait, en outre, m = m\ on trouverait

ItEDXIIOM PARTUl. — llYNAMlyUK.

T,e corps immobile ayant pris la vitesse de l'autre serait de même réduit au repos s’il rencontrait un autre corps élastique de même masse et sans vitesse , et ainsi de suite, de résultat se vérifie facilement et l’expérience en est faite dans tous les Cours de physique

70. Choc oblique . — Supposons maintenant que les centres des deux sphères, dont les masses sont m, m', ne se meuvent pas suivant une même droite. Soient O, O' les positions de ces centres à l’instant du contact. Nous nous proposons de trouver la grandeur et la direction des vitesses ■de ces deux points après le choc. Pour cela, concevons qu’à l’instant où le contact des deux sphères a lieu, on décompose chacune de leurs vitesses en deux autres dont l’une soit dirigée suivant la normale commune OC\ cl l’autre dans le plan laugeut commun. Soient N, T ces composantes pour la masse m, et N', T' pour la masse m'.

D’après ce qui a été démontré sur l'effet des forces instantanées, nous pouvons calculer d’abord les vitesses résultant de leur action sur le système qui ne serait animé que des vitesses suivant OO* ; puis les composer avec les vitesses dont les directions sont dans le plan tangent.

Nous allons donc considérer d’abord les deux sphères /«, m' en mouvement suivant la même droite OO' et se rencontrant avec les vitesses respectives N, N'. Nous nous bornerons encore à traiter deux cas distincts : savoir ceux où les deux corps sont entièrement mous, ou parfaitement élastiques.

i°. Si les deux corps sont mous , les deux forces normales leur donneront une vitesse commune v suivant OO', et sa valeur sera

mN + m' N'

les quantités N, N', v étant considérées comme positives

dans une dos deux directions sur la normale et négatives dans l'autre. Outre cette vitesse commune, les deux sphères

ont encore respectivement les vitesses T, T' perpendiculaires à 00'.

a". Supposous maintenant les deux corps parfaitement élastiques et animés seulement des vitesses suivant la normale. Ils se meuvent alors suivant la ligne des centres avec les vitesses N , N', et auront après le choc des vitesses v, 1 / dont les expressions, tirées des formules (4), seront

( ni — ni') N + 2 ni' N'

Ces composantes suivant la normale, jointes aux composantes T, T' dirigées dans le plan tangent, feront conuaitre la grandeur et la direction des vitesses après le choc.