CHAPITRE XX
DIVERSES PROPRIÉTÉS DU MOUVEMENT D’UN CORPS AUTOUR l)’UN AXE FIXE.
100. Centre (T oscillation . — Ou nomme centre d'oscillation d'un pendule composé, tout point faisant partie de ce corps ou lié invariablement à ce corps, dont le mouvement est le même que s'il était isolé et obligé de sc mouvoir autour du mèrpe axe par l’action de la pesanteur. D’après cela, tous les points de la droite menée parallèlement à 1 axe, à une distance égale à la longueur du pendule, c’est-à-dire
à — j y - (n n 82), et située dans leplan <[ui passe par l’axe et le
«entre de gravité du corps, seront des centres d’oscillation.
COURS UK MKCANjyUF..
Quelques ailleurs appellent plus particulièrement centre (l’oscillation celui de ses points qui est situé sur la verticale qui passe par le centre de gravité.
Si nous désignons par MA* le moment d’inertie du corps par rapport à une parallèle à l’axe menée par le centre de gravité, nous savons qu’on aura
t mr* z= M (A 1 -4- /’).
La longueur du pendule sera donc / 4- y v et les centres d’oscillation seront plus éloignés de l’axe de suspension que
le centre de gravité d’une quantité égale à —•
Les distances du centre de gravité à l'axe et à la ligne des centres d'oscillation , donnant pour produit il s'ensuit que si l’on prenait cette dernière pour axe fixe, la première deviendrait la ligne des centres d’oscillation. La longueur du pendule serait donc la même qu’auparavant, et son mouvement serait identique. Il en serait encore de même si l’on v prenait pour axe de suspension toute autre droite parallèle située à la même distance du centre de gravité, puisque l et k° ne changeraient pas.
En général, le mouvement sera le même autour de tous les axes qui donneront la même longueur au pendule. Si l’on désigue par l la distance d’un axe quelconque au centre de gravité, par a, 6, y les angles que sa direction fait avec les axes principaux relatifs à ce point, et par A, R, C les moments d’inertie par rapport à ces axes', on aura
M 1 ’=A ens 2 a B cos ! € -t* C cos 2 7, et la longueur 1 - 4 - — du pendule sera
A cos’ a -t- B cos’ 6 -t- C cos' 7
' ‘ Ilt.UXIKMF. FÀBTIE. — llTXAMIQUE. I
Or, cette* longueur peut rester la même pour une infinité <le droites diflérculcs, puisque a, £,*/,/ sont indéterminés.
101. Si 1 ’on cherche les valeurs que doivent avoir ces indéterminées, pour que l'expression précédente soit mini-
• muni , ori saura autour de quel axe il faut que le mouvement ait lieu pour quu l’oscillation se fasse dans le moindre temps possible.
Or, parmi tous les axes pour lesquels À* serait constant ,
celui qui donne le minimum pour la longueur l —
' ■ correspond à / = A ; et la longueur du pendule est alors égale à 2 A. Elle sera donc la plus petite possible lorsque A aura sa plus petite valeur. Ainsi, l'oscillation sera la plus courte lorsque l’axe de suspension sera parallèle à l’axe du plus petit moment d’inertie relatif au centre de gravité ; et sa distance A à cet axe est égale à la racine carrée du rapport de ce moment d’inertie à la masse du corps.
102. Percussion contre l'axe. — La force instantanée qui met un corps en mouvement autour d’un axe lixe, produit sur cet axe une sorte de choc ou de percussion qu’il est nécessaire de connaître, et qui provient des forces qui se font équilibre au moyen de sa résistance. Prenons cet axe pour axe des z; et pour plan de x cl y, le plan perpendiculaire mené par le point d'application de la force. Décomposons cette force en deux autres : l’une, Z, parallèle à l'axe fixe;
• l'autre, P, située dans le plan XY, et ayant pour composantes X, Y.
L’équilibre devra avoir lieu entre les forces — X, — Y, — Z, et celles qüi seraient mesurées par les quantités de
mouvement dm —■> dm dm ~ relativement à tous les
éléments du corps j et il faut observer que l'on a ~ = o,
■ • puisque le mouvement a lieu autour de l'axe des z.
COUDS 11F MtCAÎilQDK.
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Soient ->'■, ) , 2 les.coordonnées de l’élément den, r sa distance à l’axe, 0 l’angle formé avec l’axe des x par la projection de la perpendiculaire abaissée de cet élément sur l'axe, et o) la vitesse angulaire produite. On aura
, ^ • , dQ
x — r cos 9 , y — r sin 0 , — = o> ;
en dilférentiant par rapport à t , on aura
dx . dO dy d 9
— — — r stn 9 — , — = rros9— ,
dt de de de
ou
dy
de
et les composantes de la force appliquée à l’élément dm parallèlement à l’axe des x et à l’axe des y , seront respectivement — m y dm et wxdm.
Si maintenant on décompose le système de ces forces, jointes à — X, — Y, — Z, en trois forces dirigées suivant les axes des x,y, z, et en trois couples ayant leurs axes dans ces mêmes directions, on trouvera , pour les forces, les expressions
— Y. — — u — Y — t— si M x, , — Z ,
x ,,y, désignant les coordonnées du centre de gravité du corps; les trois couples auront respectivement pour expressions
b Z + wï xzdm , — a Z+si ïyzdw, a Y — b X ; — «2 rdm ,
a et b étant les coordonnées du point duplication de la force.
Or, le dernier couple est nul de lui-même, d’après la condition d’équilibre autour de l’ax'e; et les efforts exercés sur l’axe ne proviennent que des deux autres couples et des forces dirigées suivant les trois axes.
