QIAI UES AUGUSTINS, 39 ET

AVANT-PROPOS

Ce volume est le texte concis des leçons orales de Mécanique rationnelle données , depuis 1 838 , aux élèves de l’Ecole centrale des arts et manufactures , dans leur première année d’étude, pour les préparera l’enseignement qui concerne les développements de cette science et ses applications à l’art des constructions, à l’hydraulique , au calcul de l’effet des machines.

C’est la première partie d’un cours dont je compte publier les deux autres parties, ayant pour sujets la mécanique spéciale des corps solides ou flexibles , et l’hydraulique , dès que j’aurai pu mettre la dernière main aux feuilles lithographiées que j’ai, jusqu’à présent, rédigées pour l’usage exclusif de mes auditeurs.

Cette première partie traite des lois générales du mouvement et de l’équilibre des corps, relativement aux forces qui les sollicitent; elle expose les principales connaissances qui appartiennent à la dynamique , à la statique, à l’hydrostatique.

Un usage ancien et encore généralement suivi, est de commencer l’étude de la mécanique par la statique, ce qui a le grave inconvénient d’habituer les élèves à considérer les forces d’une manière trop abstraite, indépendamment des conditions de leur existence et de leurs effets. A cet égard une heureuse innovation a été réalisée par M. Poncelet, que ses savants et utiles travaux placent à la tête de l’école moderne de la mécanique industrielle. Dans un cours public fait en 1827 aux ouvriers et artistes de Metz, il a fondé son enseignement sur les

WANT-PHüPOS.

principes (le la dynamique, tels qu’il lésa exposés dans son Introduction à (a Mécanique industrielle, physique ou expérimentale. M. Coriolis, esprit d’une rare sagacité, dont une santé débile et une mort prématurée ont malheureusement borné la carrière, a adopté le même ordre de déduction dans sa Mécanique générale des corps solides. Il y a conclu des lois du mouvement les conditions de l’équilibre considéré comme cas particulier.

Aidé des écrits, éclairé parles entretiens de ces savants ingénieurs, mes anciens camarades à l’École polytechnique et mes amis, j’ai imité leur exemple sans m’astreindre d’ailleurs à suivre entièrement ni Tune ni l’autre de leurs méthodes.

Je suppose à mes lecteurs plus d’instruction acquise en mathématiques que n’en avaient la plupart des auditeurs des cours publics de Metz , mais beaucoup moins que n’en exigent le Traité de mécanique de Coriolis et les autres ouvrages destinés aux élèves de l’École polytechîiique. Je m’appuie fréquemment sur la trigonométrie, sur la théorie de l’expression des courbes par leurs équations, sur l’emploi des éléments du calcul différentiel et du calcul intégral; connaissances auxquelles il suffira d’avoir consacré préalablement quelques mois d’une étude attentive. On pourra les trouver enseignées dans le petit ouvrage que j’ai publié en 1842 sous le titre de Résumé de leçons de géométrie analytique et de calcul infinitésimal, et auquel je renvoie dans plusieurs endroits de celui-ci.

C’est sur cette base que je me suis efforcé d’asseoir une exposition claire et logique de la Mécanique rationnelle, qui, étudiée d’abord au point de vue purement théorique, doit ultérieurement servir de guide à la mécanique pratique ou industrielle. Dans cette étude, la rigueur mathématique n’est pas seulement un noble

AVANT-PROPOS Ml

exercice de l’iiitelligeiice ; je la crois utile surtout parce que des vérités non - démontrées sont , comme trop d’exemples le prouvent, sujettes à être bientôt oubliées ou faussement interprétées et mal appliquées.

Toute science a ses axiomes ou principes fondamentaux. J’ai cherché à mettre en relief ceux qui sont propres à la mécanique rationnelle , et qui se réduisent au nombre de trois, savoir : le principe de l’inertie (page 35 ci-après); le principe des mouvements relatifs (page 7 5); le principe de la réaction égale et contraire à l’action (page* 79)-

Le principe de l’inertie est étroitement lié à la notion de la force.

Le principe des mouvements relatifs conduit avec autant de rigueur que de facilité au théorème de la proportionnalité des forces et des accélérations qu’elles produisent sur le même corps , et au théorème de la composition des forces, connu sous le nom de parallélogramme des forces. Il est vrai que les auteurs démontrent cette proposition célèbre sans énoncer le principe dont je viens de parler; mais ils sont obligés d’admettre formellement ou implicitement quelque axiome équivalent, tel que celui-ci : Lorsque plus de deux forces agissent simultanément sur un point matériel, la résultante de deux d’entre elles est la même que si les autres n’existaient pas.

Ije principe de l’égalité de l’action et de la réaction contraire permet de démontrer les théorèmes généraux du mouvement et de l’équilibre des corps quelconques, en considérant ceux-ci comme des assemblages d’éléments à chacun desquels s’appliquent les propositions préalablement établies et constituant la dynamique d’un point matériel.

Parmi les vérités que la science possède sur la méca-

JV

AVANT-PROPOS

nique rationnelle, et dont des ouvrages justement estimés conservent le dépôt, j’ai dû faire un choix conforme aux besoins des élèves auxquels je m’adressais. 3’ai passé sous silence la théorie si inléres.sante d’ailleurs du mouvement elliptique fies planètes, et les diverses questions qui se rapportent aux axes instantanés de rotation des corps solides libres. Mais je n’ai rien négligé de ce qui se rattache à la théorie du travail des forces, si importante par ses applications au calcul de l’effet des machines. J’ai montré que la quantité si bien nommée travail par MM. Coriolis et Poncelet, s’introduit de la manière la plus simple dans le calcul, lorsque, après avoir établi les deux équations du mouvement uniformément varié, qui expriment les relations entre la force, la vitesse variable, l’espace parcouru et le temps, on élimine cette dernière variable (page 88). Du reste j’ai cru convenable d’attendre que l’étude spéciale de la théorie des machines pût faire comprendre comment le travail des forces est^jAvant l’expression de Navier, une sorte de monnaie, rp/eccmique. Jusque-là c’est une combinaison, ÿti^nelle d’une, force avec le chemin que parcourt son point d’application, et avec l’angle des directions de la force et du chemin.

Pour être conséquent avec l’adoption du mot travail dans le sens précis qui lui est maintenant attribué en mécanique , j’ai remplacé par l’expression travail virtuel celle de moment virtuel employée par Lagrange , et qui ne désigne effectivement qu’un travail. J’ai réservé 1 expression moment d'une force pour désigner, suivant l’usage le plus ordinaire, le produit de la projection de cette force sur un plan perpendiculaire à un axe par la distance de la force à l’axe, et j’ai fait remarquer que la considération de cette quantité dérive naturellement de celle du travail d’une force pendant le mouvement

AVA.WT-PHOPOS.

de rotation de son point d’application autour d’un axe (page 67).

Un théorème général et fécond (pag. 184) montre le rôle que joue le produit d’une force par la durée de son action. J’ai jugé convenable de donner un nom à cette quantité pour fixer l’attention des élèves sur son importance. Il m’a paru que la désigner, comme on le fait quelquefois, par les mots quantité de mouvement^ qui signifient proprement le produit de la masse d’un corps par sa vitesse , c’était s’exposer à confondre un effet avec sa cause : j’ai préféré le mot impulsion, dont je n’ai fait que préciser le sens en mécanique.

Une autre innovation que j’ai crue utile pour ceux qui commencent l’étude de la mécanique, c’est de supprimer l’expression force vive qui ne désigne pas une force, mais soit l’effet d’un travail , soit la capacité de produire un travail. J’ai dit (page 194) pourquoi je propose de nommer puissance vive la moitié de ce qu’on appelait autrefois force vive.

Je dois ajouter quelques mots^ur l’objet de chacune des quatre sections de ce livre.

La première section est, pour ainsi dire, un dénombrement, une liste rai.sonnée des diverses quantités qui appartiennent spécialement à la mécanique , une exposition des propriétés numériques et géométriques qui résultent immédiatement de la seule définition de ces quantités. L’expérience de l’enseignement m’a appris qu’il était utile que ces détails, qui s’appuient exclusivement sur les notions élémentaires du temps et de la force, combinées avec celles de l’espace, fussent traités séparément des propositions de la dynamique, qui établissent les relations entre le mouvement et les forces. Peut-être trouvera-t-on de l’aridité dans l’étude de cette première section, et de la difficidté, sinon à compren-

AVANT-PROPOS

dre, du moins à retenir les théorèmes et les formules qui la composent. J’engage dans ce cas les commençants à ne pas s’inquiéter des doutes qui pourront , à une première lecture, rester dans leur esprit , et à ne pas se croire obligée de savoir parfaitement toutes les propositions de la première section avant <le passer outre. Mais chaque fois que, en étudiant la seconde section et ensuite la troisième , ils verront un appel fait aux définitions ou aux vérités précédemment établies; c’est alors qu’il sera nécessaire de recourir aux explications données sur celles-ci, et de se les approprier par une entière intelligence du sens des termes employés , et par une complète conviction des conséquences mathématiques qui en découlent.

J..a seconde section traite de la dynamique du point matériel, dans les divers cas du mouvement absolu rectiligne, du mouvement absolu curviligne et du mouvement relatif. Sur ce dernier point, je crois avoir réussi, par l’emploi de la méthode géométrique, à faciliter l’intelligence de la théorie que ('.oriolis, après l’avoir publiée dans le Journal de t Ecole polytechnique , cahiers XXI et XXIV, a reproduite dans sa Mécanique des corps solides, pages 4o et sniv., et qui est à mes yeux l’un de ses plus beaux titres au souvenir du monde savant.

I.a troisième section expose les théorèmes généraux du mouvement et de l’équilibre des corps quelconques. Elle se divise en deux chapitres relatifs, l’un à la dynamique, l’autre à la statique. Il n’y est question que des généralités de ces deux parties de la science, la suite du cours devant traiter de la statique des systèmes funiculaires, des systèmes solides artictdés, du mouvement varié des corps solides assujettis à tourner autour d’axes fixes, et des éléments des machines eu égard an frottement

Enfin, la quatrième section a pour objet les connais-

AVAM- PUUPUS.

sauces les plus essentielles qui se rapportent à l’hydrostatique. J’y ai expliqué comment la propriété de l’égale pression en tous sens est une conséquence de l’absence de frottement qui caractérise la fluidité parfaite.

Dans l’intention de rendre simples et expressives les lormules de la Mécanique , j’ai adopté plusieurs notations dont quelques-unes étaient déjà usitées , et d’autres sont nouvelles.

Les lettres F,F'^.. exprimant des forces , les notations l'\, F'^,." qu’on doit lire et énoncer en disant F mÆce .r, F' indice x, signifient les projections de ces forces sur un axe desx. De même v . , v\, qu’il faut lire v indice x, v' indice y, expriment la projection de la vitesse v sur l'axe des x et celle de la vitesse v' sur l’axe des j*. Une lettre est même quelquefois suivie de deux indices inférieurs; par exemple v„ (v indice zéro) signifie une vitesse initiale , et (y indice zéro, indice x) signifie la projection de cette vitesse sur un axe des x.

La lettre G remplace constamment le mot tracaii,ç{ doit être lue comme si ce mot était écrit en toutes lettres. F désignant une force, la notation GF doit être lue travail de F, de même que les notations log, sin , cos, etc., se lisent en prononçant les mots entiers logarilhtne, sinus, cosinus, etc.

La lettre remplace toujours le mot moment. La notation 3It(^F doit être lue comme s’il y avait moment, par rapport à Caxe O.r, de la force F.

La lettre 2 remplace le mot somme. ^F, signifie, par exemple, la somme des projections des forces F sur un axe des.r, ces forces étant en nombre quelconque, et désignées spécialement par F', F", F'", etc. Cette

notation diffère du signe f en ce que celui-ci désigne une

A.VANÏ-PnOPOS.

somme d’éléments infiniment petits exprimés sous la forme différentielle.

La lettre g est exclusivement employée à désigner V accélération constante <lue à la pesanteur. Quand on adopte le mètre et la seconde pour unités de longueur et de temps, cette quantité est, pour notre latitude, 9,8088. On verra à la page 83 pourquoi j’évite de dire que cette quantité est l’intensité de la pesanteur.

La lettre ir désigne toujours le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre.

Chaque figure des planches placées à la fin du volume porte-un numéro d’ordre et un renvoi , en chiffres plus petits, à l’article auquel cette figure s’applique.