A l’exemple de quelques auteurs anglais, nous ap

MOMENT d’inertie. 59

pelons rayon de gyration la longueur R qui satisfait à l'équation

c’est la distance, à partir de l’axe, à laquelle il faudrait transporter la niasse totale du corps tournant , pour que le moment d’inertie ne fût pas changé non plus que la puissance vive, la vitesse angulaire restant la même.

Si l’on désigne par R, le rayon de gyration du corps par rapport à l’axe Oz passant par le centre de gravité, la dernière équation du n° io6 donne, en supprimant le facteur commun 2^ >

R'=rR,>-h^>, [17]

c’est-à-dire que le quarrè du rayon de gyration d’un corps par rapport à un axe quelconque est égal à la somme du quarré du rayon de gyration par rapport a un axe parallèle , mené par le centre de gravité ^ et du quarré de la distance des deux axes.

108. Lorsqu’il s’agit d’un corps homogène, on peut , dans l’équation ’^mr’' =R' ^m, substituer aux masses élémentaires les volumes u correspondants qui leur sont proportionnels. On a ainsi

et le rayon de gyration peut alors être défini indépendamment de toute notion de mécanique.

La détermination des moments d’inertie ou des rayons de gyration des corps homogènes de figure géométrique est une des applications utiles du calcul intégral. {Géom. anal., p. 343 et suiv.)

109. Nous avons vu (io4) que la puissance vive d’un corps solide tournant autour d’un axe fixe s’exprime par

- (Il* ’^mr'.

L’axe fixe étant supposé AB, mettons pour ’ l’expression équivalente obtenue au n° 106, la puissance vive sera représentée par

- w’ y mr,' - <!>’ A:' y w •

Or, wA- est la vitesse absolue du centre de gravité G, pendant que le système solide tourne autour de AB. Désignons cette vitefise par v, , et la puissance vive du système sera exprimée par

ce qui peut s’énoncer en ces termes :

La puissance vive d^un corps solide tournant autour d'un axe fixe peut se décomposer en deux parties , dont l’une est la puissance vive qu’aurait le corps si toute sa masse était condensée au centre de gravité, et l’autre est la puissance 7>ive que posséderait le système s’il tournait avec la même vitesse angulaire autour d’un axe paraltele au premier et passant par le centre de gravité.

110. Ce résultat n’est qu’un cas particulier d’une proposition dont nous allons reproduire la démonstration donnée par Coriolisdans son traité du Calcul de l’effet des machines (p. 77 et suiv.). Considérons une réunion quelconque de points matériels liés ou indépendants entre eux, et cherchons à exprimer sa puissance vive totale en fonction de la vitesse du centre de gravité, et des vitesses relatives h des axes mobiles, qui , menés par le centre de gravité , seraient entraînés avec lui en un mouvement de translation. Soient

X, Y, Z les coordonnées mobiles du centre de gravité par rapport à des axes fixes ,

x,y, Z les coordonnées d’un quelconque des points du système par rapport aux mêmes axes ,

X, y, z' les coordonnées du même point par rapport à des axes parallèles aux premiers , mais passant par le centre de gravité mobile.

On a à chaque instant

d’où , en diflérentiant par rapport au temps.

MOMENT d’inertie.

dx rfX dx'

dt dt de '

djr dY dy

dt dt dt'

dz d 7 i

dt dt

En représentant par V la vitesse du centre de gravité, par v la vitesse absolue d’un point du système , par v sa vitesse relative aux axes mobiles , toutes ces vitesses étant prises à un même instant , ces trois équations peuvent s’écrire ainsi :

Si m est la masse du point quelconque , la puissance vive totale du système au même instant auquel se rapportent ces vitesses, est

ou 2 “ '

et en y substituant les valeurs précédentes de v,, v^, v,, cette quantité devient

2lm[(v.+ + +(V.+

ou en développant

Les trois dernières sommes ont les facteurs V, , V,, , V, respectivement communs à tous leurs termes ; elles équivalent à

Or, les quantités étant pour le

système considéré relativement aux axes mobiles, les sommes des quantités de mouvement de tout le système projetées sur

SECT. I. CIIAP. 111 . § 4-

des axes coordonnés menés par le centre de gravité , ces quantités sont nulles(io 2 ). Donc la puissance vive ci-dessus calculée se réduit à

ou plus simplement (3o) à

C’est ce qui peut s'énoncer comme il suit :

Dans un système matériel quelconque en mouvement, la puissance vive totale peut se décomposer en deux parties, dont l’une est la puissance vive qu’aurait le système si toute la masse était condensée au centre de gravité, et l’autre est la puissance vive totale qu’on trouverait en ne tenant compte que du mouvement du système relativement a des axes mobiles menés par le centre de gravité et se transportant parallèlement à euxmêmes.

TRAVAIL un DEUX FORCES ÉGALES ET OPPOSÉES. G3