LeMMB DE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. LeS poitltS

( fig. 1 1 ) étant à une distance finie l'un de Vautre., si l’on considère deux points B, B', infiniment rapprochés l'un de A, l'autre de A', la différence entre la distance BB' et sa projection orthogonale PQ sur la droite AA' est an infiniment petit d’un ordre supérieur, c’est-à-dire, qu’elle est infiniment petite par rapport à la somme des distances infiniment petites AB, A'B'.

Démonstration. Soient AB=s, A'B'=j', BC=z, CP = J, B'C' = 5, C'Q=j, BB'rrn/, PQ=/i.

Les angles G, P, G', Q étant droits, on a

l=Vp’-\- 0' —jf -I- {z — z)*;

d’où il résulte

[y-rY ■

car le qitarré de cette dernière quantité est plus grand que/5’A-(r' — .?')’+(* — *)’ i

donc

(y-rY

■xp

Les coordonnées z, y sont toutes deux plus petites que de même z et y sont plus petites que s' ; donc, quels que soient les signes de ces quantités, on a

donc l — P < -1

donc le rapport de l — p à la somme infiniment petite f+j' est

moindre que la fraction infiniment petite ^ j ce qu’il fal-

lait démontrer.

113. Celte proposition conduit à une expression simple de /a somme de travail de deux forces égales et directement opposées appliquées à deux points différents en mouvement.

Un des points mobiles parcourt la courbe ABD {fîg. 12 ), et l’autre la courbe A'B'D'. Une force F, d’abord supposée constante en intensité, est appliquée au premier mobile suivant les directions successives AF, BF , DF, passant par

A', B' , D', tandis qu’une force égale F' agit sur le second

mobile, suivant les droites A'P”, B'F'\..., D'F', passant par A, B...., D. Les forces F, F' produiront chacune un travail, et il s’agit d’évaluer la somme algébrique des deux travaux pris avec leurs signes.

Soient BC, B'C' ou ds , ds deux arcs infiniment petits décrits simultanément; a, a' leurs angles avec les forces F, F'. Ces angles ne sont pas constants , mais varient aussi peu qu’on veut pendant le parcours des chemins BC, B'C'. Donc, sauf une erreur qu’on rendra de plus en plus négligeable en prenant ces arcs plus petits, les travaux élémentaires correspondants seront

Frfj.cosa, F'fiJs'.cos a',

et leur somme

F {ds. cos a -I- ds' . cos a').

Si des points C, C' on abaisse sur la droite BB' les perpendiculaires CP, C'P', on aura BPzzz(/y cosa, B'P'= <// cos a', et