MOUVEMENT UNIFORMÉMENT VARIÉ RECTILIGNE

pour cliiTerentes forces appliquées respectivement à différents corps. ClierchoDS d’abord la solution de la seconde question posée au n" i3i.

134. Cette solution repose sur le principe suivant, lequel ne doit pas être confondu avec celui du n° i3a, qui n’en est qu’un cas particulier. La différence consiste en ce que le mouvement de translation commun, qui est uniforme au n" i3a, devient ici un mouvement varié rectiligne quelconque.

PRINCIPE GÉNÉRAL nES MOUVEMENTS RELATIFS.

Lorsqu'un système quelconque de points matériels possède un mouvement de translation rectiligne varié, si un autre point ayant à un certain instant la vitesse d'entrainement du ^sterne, reçoit, à partir de cet instant , en outre de la Jorce nécessaire pour le faire participer à l'accélération du système, l'action d'une ou de plusieurs forces, il prend, relativement au système, le même mouvement que ces dernières forces lui imprimeraient, si les vitesses et les forces qui se rapportent au mouvement commun n'existaient pas.

Cette loi de la nature ne peut être soumise à une expérience directe et rigoureuse ; elle est vérifiée par l’accord des conséquences qu’on en tire avec les faits observés, surtout en astronomie. Elle conduit à la proposition suivante :

135. Théorème. Deux points matériels égaux sollicités par des forces inégales agissant dans la direction de leurs vitesses initiales, reçoivent des accélérations proportionnelles a ces forces.

Nous entendons par points matériels égaux ceux qui, sollicités par des forces égales, prendraient la même accélération.

SoitaF l’une des forces, double de l’autre, désignée par F. Si l’on appliquait aux deux points égaux , d’abord en repos , deux forces égales F supposées parallèles, les deux points marcheraient d’un mouvement commun et uniformément accéléré (i33). Mais l’un des corps recevant en outre, dès l’instant du départ, une seconde force F, prend, par rapport à l’autre corps, au bout d’un temps quelconque, une vitesse relative égale à la vitesse absolue que la force unique F imprime dans le même temps au second corps. Donc le pre-

SECT. II. CMAP. I. § 3.

mier possède, à un instant quelconque, une vitesse double, et par conséquent il a constamment une accélération double de celle du second.

On démontrerait de même la proposition pour le cas où l’une des forces serait a , 3 , 4 n fois l'autre.

Enfin , si les forces sont dans le rapport de deux nombres entiers n, n\ ou représentées par nF, et «'F,, en désignant par y, l'accélération due à l’action de F, sur l’un des points égaux considérés , on voit que les accélérations produites par /iF, et n'F, sont nj\ et n'y. : elles sont par conséquent proportionnelles aux forces.

1 36. CoROLi-AiBB. Un point matériel sollicité par une force variable agissant dans la direction de la vitesse initiale, reçoit à deux instants quelconques des accélérations proportionnelles aux intensités de la force a ces deux instants.

Cette proposition résulte immédiatement de la précédente dans le cas où la force agissante reste constante , à partir de chacun des instants considérés, pendant un certain temps, quelque court qu’il soit. Elle subsiste donc quand ce temps devient infiniment petit, c'est-à-dire, quand la force, variant d’une manière continue, l’accélération variable est exprimée

par -5? C‘o)-

§ 3. Détermination numérique de ü accélération produite

par une force donnée sur un corps dé un poids donné.

137. Il résulte du théorème précédent que si F, F', désignent deux forces quelconques, et y, j, les accélérations qu’elles imprimeraient en agissant seules sur un certain point matériel, on a

d’où il suit que, pour déterminer y, il suffit

i“ De faire une expérience qui donne l’accélération y' produite sur le corps dont il s’agit par une force connue F' ; a® D’avoir le rapport de F à F'.

DÉTERMINATION NUMERIQUE DE l’aCCÉLÉR ATION. 77

138. Or, un phénomène naturel très-remarquable nous fournit cette expérience, pourvu que nous admettions que tous les mouvements observés dans une médiocre étendue à la surface de la terre sont les mêmes qu’ils seraient si , notre globe devenant immobile, le poids des corps restait cependant ce qu'il est (*). Ce phénomène consiste en ce que tout corps abandonné dans le vide a l'action de la pesanteur, c’est-à-dire , soumis à la seule force qui s'appelle son poids, prend un même mouvement uniformément accéléré (i 4 )- A la latitude de Paris, l’accélération de ce mouvement est 9 °’, 8 o 88 . Nous la désignons par g, et par conséquent les équations du mouvement vertical des corps dans le vide sont (i33)

x=-x^+v^ + \gf,

7» = W. -h gt,

dv

di —

le sens positif des distances verticales x, et des vitesses V,, V étant de haut en bas.

En des lieux dont la latitude ou la distance au centre de la terre diffèrent beaucoup, l'accélération due à la pesanteur n’est pas exactement la même : à l’équateur, elle est d’environ o",o3 plus petite qu’à Paris. Dans les applications, on

peut faire ^ = 9 ", 8 t, et - = o,ioa.

139. Du fait expérimental que nous venons de rappeler résultent plusieurs conséquences importantes , savoir :

1 ° Le poids d’un corps est une force constante, puisque le mouvement qui résulte de cette force, quand elle agit seule, est un mouvement uniformément varié (i36).

a° Deux points matériels de même poids P sont ce que nous avons appelé (i35) deux points matériels égaux, puisque sous l’action de forces égales ils prennent la même accélération g.

(*) L’exactitude de cette hypothèse sera démontrée plus loin (368).

78 SECT. II. OHAP. I. § 4-

3® Dans I équation = [aol relative aux divers mour J ^

vements d’un même mobile, on peut mettre simultanément pour F' le poids P du mobile, et pour j' l’accélération due à la force P lorsqu’elle agit seule sur ce corps, et l’on aura

c’est-à-dire que l’accélération constante qu’imprime une force F agissant seule sur un point matériel est a la longueur g , accélération due à la seule pesanteur, comme la force F est au poids P du même mobile , ce poids étant pris au même lieu oïl est observée l’accélération g.