Q , ^ I EA

v' = Qx T-x*

Ig ^ a L

Soit l l’allongementcorrespondant à l'instant où la tension F est égale à Q (c’est celui qu’aurait pris et conservé la tige si l’on avait supprimé très - lentement le support inférieur du corps). M. Poncelet appelle allongement de stabilité la quantité f qui est l’allongement, par mètre de longueur primitive, de la tige portant le poids Q en repos. On aura en faisant dans [ 3 i], F = Q et :r = f, Q = H/,

d’où

et l’équation [ 3 a] devient

La vitesse v est donc proportionnelle à l’ordonnée j d’un cercle dont a/ serait le diamètre et x l’un de ses segments.

Le maximum de v a lieu pour x = l; ce qui doit être , puisque la force F opposée à Q lui est égale dans cette position, et ensuite devenant plus grande oblige le mouvement de se ralentir. Ce maximum de vitesse est V = 1/^, vitesse due à la moitié de / (14^)-

Le corps M cesse de descendre et la tige de s’allonger quand V redevient nulle , ce qui a Heu pour a: =. 2/ ; alors F devient aQ , de sorte que dans cette position extrême l’allongement et la tension sont doubles de ce qu’ils seraient si la tige supportait le ebrps M en repos.

* VIBRATIONS d’une TIGE iÉLASTIQUE. 99

178. A partir de l’instant où la tige a pris l’allongement a/, le corps M remonte ; la formule [33] reste applicable , parce que, pour chaque espace négatif dx ^ le travail est encore exprimé par (Q — Y')dx. Ainsi le corps M repasse en remontant par les mêmes points avec les mêmes vitesses en sens contraire, puis il redescend, et ainsi de suite. On demande la durée de ses oscillations , et il est facile de résoudre ce problème sans faire usage des règles du calcul intégral.

En faisant dans [33] - 7 ; = ^ et K/' {p.1 — ar)r=:j',

on a [34]

Soient t6), AO = /, AM~a:, MN=t',

NN' = ds.

Les triangles rectangles semblables MON, PNN' donnent

d^dj^

MN ON y ~

et l’équation [34] devient

dt—\/^--j, d’où t=\/i.l,

en faisant AN ==5, et en appelante le temps pendant lequel l’extrémité de la tige passe de A en M. Ainsi le temps t et l’arc AN croissent propoitionnellement , de sorte qu’un point mobile qui parcourrait la circonférence ANB de manière que sa projection sur la verticale AB coïncidât toujours avec la position du corps M , aurait sur cette circonférence un mouvement uniforme.

Pour avoir le temps de la descente de A en B, il faut faire sz=i:l, la demi - circonférence ANB, ce qui donne

7î v/ Telle est la durée d’une simple oscillation de A en B

ou de B en A. Ainsi, en la désignant par T, nous aurons la formule

SKCT. II. cnÀP. I. § 9

T = it \/ -. n [35]