Question. Une tige prismatique verticale est fixée

(*) Le fond des numéros 176 à i8a est tiré de \' Introduction à la Mécanique industrielle , par M. Poncelet, deuxième édition, pages 385 à 400.

VIBBATIONS d'une TIGE ÉLASTIQUE.

à son extrémité supérieure; on attache à l’autre extrémité un corps M dont le poids est Q. Ce corps, d’abord soutenu de manière qu’il n’exerce aucune action sur la tige, est subitement abandonné à la pesanteur : dès lors la tige s’allonge d’une quantité variable x, et en même temps exerce sur le corps une force variable. On admet que cette force, qu’on peut appeler la tension de la tige, est proportionnelle

I® au rapport de l’allongement a; à la longueur L primitive ou naturelle de la tige;

2 ° à la section A de la tige, section rapportée au mètre quarré. Ainsi l’on a :

E, qu’on appelle coefficient ou module de l'élasticité, étant un nombre de kilogrammes dépendant de la matière de la tige. S’il s’agit du fer forgé, on a à peu près Ei= a X io-'° ; d’où l’on conclura, par exemple, qu’un fil defer de un millimètre quarré de section et de un mètre de longueur primitive est allongé de un demi-millimètre sa tension est de lo kilogrammes, c’est-à-dire, quand il exerce sur chacun de ses points d’attache extrêmes une force de lo kilogrammes.

Le coefficient -j— de x dans l’équation [3i] est la mesure

de la raideur de ressort de la tige dans le sens longitudinal.

La loi exprimée par cette équation [3i] n’est admissible que jusqu’à ufi certain état d’extension qu’on appelle la limite de l'élasticité, et qui, pour le fer, correspond à une tension de 12 à i8 kilogrammes par millimètre quarré de section, suivant la qualité du fer. Cette loi suppose enfin que la tige est uniformément allongée dans toute son étendue , ce qui n’a lieu à la rigueur pendant le mouvement que dans le cas où l’allongement s’opère lentement. L’expression ci-dessus de F peut encore être considérée comme suffisamment exacte, même pendant le mouvement rapide, lorsque la masse de la tige est petite par rapport à celle du corps M.

Ces hypothèses étant admises , on demande quel sera le mouvement du corps M considéré comme un point matériel.

SECT. n. CHAI*. I. § C).

1 77 . A.rinstantoù le corps M, don t la masse est —, a parcouru lu longueur a:, il a reçu , depuis le commencement du mouve-

(Q — F) dx onj sance^veest — — v*, sa vitesse étant v. Donc on a fi 65 et

167) en intégrant [Géom. anal . , 286) ,

( Q«tr xdx), et sa puis-

ment, le travail