EA. Q O
ou, en remplaçant — par -j comme au n 177,
v‘ — v‘ J (a/x — x'). [35 bii.]
On en conclura , comme dans la première question, que le maximum de v répond à x = f, et à F = Q. Ce maximum ,
(*) On obtiendra les memes résultats par le calcul intégral , en substituant dans [33] — pour v, ce qui donne
dx
et en intégrant à partir de x = o (Géom. anal . , a8a et aSi)
/ =V/ -^ang.(^cos =‘-^y
VlBRÀTlOirS d’une tigk élastique. lOi
que nous désignerons par V , est donné par la formule
V = +gl.
Le maximum X de l’allongement x répond à v—o. On a donc, en faisant ^>= o dans [3S bis],
X* — a/X = ^ , d’où X = + y/i ,
et la tension correspondante de la tige est, d'après [3i] ,
EAX QX J*/ . . / TIÏTS
181. Exemple. Posons les mêmes données qu’au n“ 179. Faisons de plusa^g =o'",20 due (i44) à la hauteur
h = — 1= o"’,ooao4.
La longueur l reste, comme au n° 17a , de o"‘,ooa.
Maximum de vitesse, Vr=l/o,o4 + 0,0196a =o"’,a44-
Maximum d’allongement,
X = /(i -H 1 / 1 -H a, 04) = o"’,oo546.
Maximum de tension ,
OX
— = 2,74 X 4 X io‘.A = 10,96 X lo'.A;
ce qui revient, par millimètre quarré, à io‘‘,96; de sorte qu’il s’en faudrait peu, pour certains fers, que l’élasticité n’en fût altérée.
182. A partir de l’instant du maximum d’allongement, le corps M remonte; l’équation [35 bis] continue d’être applicable, parce que pour chaque espace négatif dx, le travail des forces reste exprimé par (Q — F) dx. Ainsi le corps M reprend pour les mêmes valeurs de x les mêmes vitesses, mais en sens contraire. Il possède donc la vitesse ascendante à l’instant où la lige est revenue à son état naturel. Dans cette position, si le corps peut glisser le long de la tige sans frottement, il s’élè-
vera à la hauteur ~ due à , puis il retombera. Si au con-
102 SECT. II. CHAP. I. § g.
traire il est fixé à l’extrémité delà tige, et que celle-ci ne puisse pas plier, elle se contractera eu exerçant sur le corps M une pression de haut en bus, dont l’intensité sera encore donnée
par la formule F — , dans laquelle x' est la diminution
de longueur de la tige. L’action de celle-ci est donc alors, dans toutes les positions possibles, donnée pour l’intensité et le sens par la formule [3i], en changeant le signe de a: quand le corps M est au-dessus de la position initiale. Dans ce cas la formule [35 Jw] s’applique à toutes les valeurs de x positives ou négatives ; elle donne, en y faisant v =zo, les valeurs extrêmes
de X, l’une positive, l’autre négative /dz \/ î-, d’où
il suit que l'amplitude des oscillations est 2 \/ u
L’équation [356/#] peut être mise sous une forme plus simple. Pour cela soit A (/ig. ly ) l’origine des jr; AO = /, OB =
OB' = \/ />-j- ^ = r, de sorte que B et B' sont les extré-
mités de la course du point mobile. AM étant ■=:x , représentons par Z la variable OM, et transformons l’équation [35] en y remplaçant x par sa valeur en z. On trouvera :
x=l — Z, 2 / — a? = /-l-z, d’où v‘ — -w/ = I (/’ — z') 5
ou, en mettant pour l’ sa valeur r’ — tirée de la définition ci-dessus de r,
La vitesse v est donc encore représentée parTordonnéeMN ou d’un cercle qui, dans ce cas, doit être construit sur BB'
ou 2 r, multipliée par le coefficient \/^ jî d’où l’on conclura,
comme au n" 178, que le temps employé par le corps M à parcourir une longueur quelconque MM', est numériquement
VIBRATIONS d’une TIGE ÉLASTIQUE.
égal à !££^y / i , el que la durée d'une oscillation simple, ^ S
aller ou retour, est encore ir \/ - , et par conséquent indé-
pendante de la vitesse initiale v^-
183. Remarque. La force Q, qui sollicite le corps M, pourrait être différente du poids de ce corps, poids que nous désignerons par P. (On peut imaginer, par exemple, que la force constante Q soit produite par un gaz exerçant une pression constante sur l’une des faces d’un piston , dont le poids serait P, attaché à l’extrémité mobile de sa tige. ) Dans ce cas, en négligeant toujours la masse de la tige, l’équation de l’effet du travail est la même que précédemment, excep-
té que dans le premier membre la masse est - au lieu de -■ On a donc
EA X’ L a ’
I IlaA. V , % m ,
ou, en remplaçant par —, expression ou l est encore lal-
longement que la tige prendrait dans l’état de repos sous l’effort Q ,
Les conséquences tirées de cette équation seraient les mêmes que précédemment, si ce n’est que g serait remplacé par
184. 3* Question. Une tige supportait en repos une pression Q, qui ta raccourcissait de la quantité 1 = ^. Tout
à coup cette pression est remplacée par une traction Q , de même intensité que la pression précédente. On demande encore la loi du mouvement du corps M , dont le poids est P, attaché au bout de la tige dont on néglige la masse.
Comptons toujours les x dans le sens de l’allongement, et à partir du point qu’occupe l’extréinilé mobile de la tige
lorsque la tension F est nulle. L’équation de l’effet du travail devient
l’intégrale devant être prise à partir de ar = — /, parce que dans cette position la vitesse v est nulle. Cette intégrale dé-
