EA
finie étant calculée {Géoni. anal., 270 ), et étant reni-
place par ~ , on trouve
Les deux extrémités de la course du point M sont données par les valeurs de x, pour lesquelles la vitesse v est nulle, savoir, x ■= — /, et x” ■= 34
Le plus grand allongement de la tige serait donc triple de l’allongement dû à la charge Q dans l’état de stabilité ('’).
18S. Les problèmes qui viennent d’être résolus sont compris comme cas particuliers dans la question suivante :
Un point matériel dont la masse est m se meut sur la droite AB (fig. 18 ), en vertu d'une 'vitesse initiale qu'il possédait à son passage au point Mo, outre qu'il est sollicité par une
(*) Ce résultat est conforme h celui (pic donne M. Ch. Combes , dans son TYaité de V Exploitation des Mines, 1. 1, page 5o4. 11 ajoute les réfiexions suivantes :
« Sans doute, dans les machines bien construites, les forces appli- « qnées à l’extrémité d’une tige ne changent pas brusquement de « direction en conservant leur intensité, ainsi que nous l'avons O supposé. Mais, bien que les changements de direction des forces n soient graduels, au lieu d’ètre subits, il n’en résulte pas moins « dans l’étendue des tiges, qui sont alternativement étendues et com- « primées, des mouvements vibratoires qui les fatiguent beaucoup « plus que ne le ferait une charge permanente. L’expérience dé- « montre ce fait, et les constructeurs ne manquent pas d’y avoir « égard pour fixer les dimensions de ces liges, qui , d’après les aper- 0 çus précédents, doivent avoir une section transversale triple de « celle qui suffirait, si elles étaient chargées d’une manière perma- « nenle du plus grand effort qu’elles aient à supporter. »
VlBR/iTlOWS d’üNE tige ÉLASTIQUE. 105
force F qui l'attire vers le point O de la droite AB, et qui varie proportionnellement à la distance du mobile a ce point O. On demande quelle est la loi du mouvement de ce corps.
Soit M, à un instant quelconque, la position du point matériel. Soit x la distance OM. A l’instant considéré, l’intensité absolue de la force F est fx , en représentant par / l’intensité qui correspondrait à l’imité de distance. Pendant le parcours de l’espace MM' ou , le travail de la force F est — fxdx , quelle que soit la position du mobile , sur la partie positive OB de l’axe x, ou sur la partie négative OA, et quel que soit le sens du mouvement de A vers B , ou de B vers A. On vérifiera aisément, pour les quatre hypothèses possibles , l’exactitude de cette expression du travail élémentaire de la force F, en remarquant que lorsque le mobile est situé à gauche de l’origine O la distance x est négative , et que lorsqu’il se meut de B vers A , la différentielle dx est négative.
Cela posé , en appliquant le théorème de l’effet du travail (167), on a
^ mv^ = fxdx = — x') ,
V > , f ImVa . A
d ou v' \çy~ + — x'j >
ou plus simplement v’ =: ^ (X* — x*),
en représentant par X’ la constante "'y - -4-a^o’- O” ''O'*
que la vitesse v varie proportionnellement à l’ordonnée ML qui correspond à l’abscisse x dans un cercle ayant OB égal à X pour rayon. Ainsi , en supposant la vitesse v„ positive , le mobile va de M„ en B, puis de B en A , de A en B, et ainsi de suite. L’amplitude de l’oscillation AB est 2X ,
, / /nv„’
ou 2\/ -jr- -F x^\
Pour avoir la durée d’une oscillation , ou même du parcours d'une portion quelconque de l'espace AB, il suffit de
mettre pour sa valeur — dans la dernière équation , d’en conclure
dt
/ l/X*— a:* et en intégrant entre deux valeurs x et x" de x,
dx
= v/j [arc(sin = ^) - arc (sin = |)] ■
Ainsi le parcours de la distance MN est
arc LP
, et la
