MOUVEMENT VERTICAL DANS UN MILIEU RÉSISTANT

On attribuera Jonc, dans les fornnJes précédentes, à la vitesse V des valeurs croissantes, à partir de la valeur initiale et pour chaque intervalle entre deux vitesses consécutives, on adoptera une valeur de c tirée de la table. On aura ainsi, pour cet intervalle, la constante K , et l’on s’en servira pour calculer par les formules le temps t et l’espace x relatifs à ce même intervalle, pour lequel les vitesses extrêmes seront connues. On continuera ainsi jusqu’à ce que la somme des temps ou des espaces partiels dépasse un temps ou un espace donné. Une interpolation facile fera connaître, avec une approximation sufBsante,!e temps du parcours d’un espace connu, ou l’espace parcouru dans un temps donné.

188 . Ascension. Supposons que le corps sphérique soit lancé verticalement avec une vitesse initiale v^. Si nous comptons de bas en haut la vitesse et les x positives, l’équation fondamentale du mouvement est

dv — mf ; — R dt m

ou

dv

dt

en conservant les notations précédentes. On en tire

“ tt <»l*

et, en intégrant (Géom. anal., 297) (*),

, = v/| [-c(ung = -arc(,ang = j^)]-

(*) On peut retrouver comme il suit , par une construction géo-

métrique , que - est égale à la différentielle de l’arc dont la

tangente est x. Soit (Rg. 18 bis) AM = x et MM' = </x. Élevons la perpendiculaire AO = I ; nous aurons OM= i et, par consé-

quent

dx MM'

Prenant O pour centre, décrivons les arcs ABB', MN. Le triangle

1 12 SECT. 11. CHAV. 1. § 9-

Cette formule se simplifîe en posant

lang a = et tang p =r^; ^ = v/-(* ~ P)î

V/gK or tang(ct — = il en résulte

tang a — lang ^ i'''7^(Vo — y)

■tang a tang ^

l =-1^^ arcrung = —

g ^ V gK—v,v J

Si dans cette formule on fait v = o, on obtient pour t la durée de l’ascension, après laquelle le corps retombe; et la formule cesse d’ètre applicable, parce que la résistance R change de direction.

Pour obtenir l’espace parcouru x pendant l’ascension en fonction de la vitesse v, on élimine dt entre les équations

dv 1)'

di~~ K

tlx .

on a

dx=-^~

et en intégrant

* =-^ K(^logG?K + -v\) - log(^K + t^o)-

En faisant dans cette formule v=.o, on trouve pour x la hauteur de l’ascension totale en vertu de la vitesse v^. Exemple. Sphère en bois dont le poids par mètre cube est

infiDÎmcnt petit MM'N est semblable à OA.M, et les arcs BB', MN sont proportionnels h leurs rayons. On a donc