log 5 18,5 — log 4 i

tandis que dans le vide elle serait 5 , 10.

La durée de cette ascension totale s’obtient en faisant 2. = o dans l’expression précédente du temps c’est donc

T = arc (tang=::p^y

Dans l’exemple ci-dessus énoncé, on a logl/^K=i, 3 io 848 ; = 20,457; log tang = 1,689132 ; l’angle correspondant est de 26“ 3 ',o 3 , et doit être ici exprimé par le rapport de son arc au rayon, savoir o, 455 . Ainsi,

tandis que dans le vide l’ascension durerait ou i",oi95.

La résistance de l’air a donc plus d’inQuence sur la hauteur de l’ascension que sur sa durée.

4° Exemple d’un mouvement rectiligne alternatif.

189 . Supposons qu’un corps, que nous réduirons par la pensée à un point matériel, ait, sur une ligne que, pour fixer les idées, nous prendrons horizontale, un mouvement rectiligne alternatif analogue à celui du piston d’une machine à vapeur. Soit A, A, {Jïg- 19) l’espace qu’il parcourt alternativement dans les deux sens. A cet effet, perpendiculairement à la direction de cette droite et en un point C de son prolongement, se trouve l’axe d’un arbre tournant sur lequel est

fixée une pièce CB appelée manivelle^ que l'arlire entraîne dans son mouvement de rotation. A l’extrémité B de la manivelle est une partie arrondie appelée bouton , dont l’axe B est parallèle à l’axe C, et sur laquelle s’articule l’un des bouts d'une tige BM appelée dont l’autre bout M est articulé

avec une autre tige MA qui, glissant entre des guides, ne peut se mouvoir que suivant la ligne CA,. C’est à cette seconde tige qu’est attaché en A le corps dont nous considérons le mouvement. Il est clair que l’amplitude de la course A, A, est égale au diamètre B, B, du cercle décrit par le centre B de l’articulation de la manivelle.

190. Le mouvement du corps dont il s’agit étant le même que celui du point M , appelons X la distance variable CM j r le rayon CB de la manivelle ; l la longueur BM de la bielle;

a l’angle variable B, CB du rayon de la manivelle avec l’horizontale CB,;

et proposons-nous d’abord d’exprimer la loi du mouvement du point M en supposant donné celui de la manivelle.

Le triangle CBM donne entre les deux variables a: et a la relation

/’ = r* + a:’ -4- irx cos a , [36]

d’où en considérant a: et a comme fonctions du temps t, et en différentiant

dx

dx

da

X r cos a. • rx sin a. • -ri

dt dt dt

* (ijc

ou en remplaçant la vitesse de M, — par z>, et la vitesse angulaire de la manivelle, par w,

XV 4- rv cos a — rxu> sin a = o. [3y]

En différentiant de nouveau cette équation dans laquelle v et U sont en général fonctions de t comme x et a, on a

MOUVEMENT BECTILIGNE ALTERNATIF.

dr dv dv . da

~]7 ^ -JT + r COS a • i~v sin a • — -

ttt dt di dt

dx

du

dtii

— no sin a • rx<a cos a • — — . rar sin a

dt dt dt

ou en remplaçant encore

lit

par V, et

dt

par ( 0 ,

, , . dv

jT + c cos a . arvco sin a

dt dt

, . dhi

— rxiù' cos a — rr sin a — = o .

dt

Le mouvement de la manivelle étant donné, et, par conséséquent , sa vitesse angulaire <o et son accélération angulaire

dbi ,

étant connues pouT une valeur quelconque de a ou de ï.

on peut, au moyen des trois équations [36], [3y], [38] qui

précèdent, trouver les valeurs de de -u et de — corres-

dt

pondantes à toute position de la manivelle.

191. Pour simplifier, considérons le cas où la vitesse angulaire (0 est constante, et où la longueur l de la bielle est très-grande par rapport au rayon r. Dans ce cas, la longueur l ou BM de la bielle diffère très-peu de sa projection MP, de sorte qu’on a très-approximativement

/ =:x -J- rcosa, [3g]

d’où , en différentiant comme tout à l’heure ,

. dx . da.

o=— — rsina— ou ^'=^(üSlna, [4o]

. . dv da dv ^ ,

puis — = rwcosa— ou — =:ra)'cosa. [4i]

192. Maintenant, examinons les forces nécessaires pour produire le mouvement dont nous venons d’étudier la loi. Supposons que le corps attaché en A à l’extrémité de la tige ÂlA reçoive dans le sens de son mouvement une force connue F d’intensité constante et indépendante de l’action de la tige. (Par exemple, on peut imaginer que cette force F soit exercée par de la vapeur agissant alternativement sur l'une des faces d’un piston dans toute l’étendue de sa course, puis sur l’autre face

SECT. II. CHAP. I. § g.

et toujours dans le sens du mouvement.) Cette force est donc positive pendant le mouvement de A, en A,, et négative pendant le retour de A, en A,. Outre cette force F, le corps dont il s’agit reçoit de la tige MA une force T positive ou négative , pression ou tension, qu’il s’agit de déterminer.

Pendant la course de A, en A,, nous aurons, en désignant par m la masse du mobile,

OU en nous bornant au cas particulier du numéro précédent , et en mettant pour l’accélération ^ sa valeur tirée de [4t]»

T = ffini»' cos a — F.

Les valeurs extrêmes de T ont donc lieu aux deux extrémités de la course , et sont

en A,, où cosa=;i T, zziTOrw’ — F,

en A,, où cosa= — i T, rz; — (/nru’ -f- F).

T, peut être pression ou tension, selon que mrtù' est supérieur ou inférieur à F ; T, est toujours une tension dans l’hypothèse que nous avons admise pour la direction de F ; la différence T, — T, est toujours am/tù’.

193. Les mêmes formules seraient applicables, en changeant le signe de F, au cas où cette force agirait contrairement au mouvement comme un frottement. Ces résultats sont utiles pour déterminer les dimensions à donner à la tige et à la bielle pour qu’elles résistent aux efforts qu’elles subissent.

5° Mouvement rectiligne de deux corps tics par une action mutuelle.

194. Deux corps dont les masses sont m,m' , se mouvant dans la direction de la droite qui joint leurs centres de gravité, sont supposés exercer l’un sur l’autre une action mutuelle y, fonction connue de l’accroissement de leur distance, c’est-àdire, qu’à un instant quelconque le corps m reçoit du corps m une force f attractive ou répulsive , et le corps m reçoit au même instant du corps m une autre force f égale, mais