Si pour divers pians inclinés les quantités l et h

satisfaisaient à la condition ^ = constante, le temps de la

descente serait constant. 11 suffit pour cela que les pians aient les mêmes longueurs et les mêmes inclinaisons que des cordes aboutissant à l’une des extrémités du diamètre vertical d'un même cercle {Jig. a4)- Si r est le rayon de ce cercle, on a

= 7,rh ,

et t

230. PaoBLÈME. Étant donnés un point A et un plan BC, déterminer le plan incliné AP suivant lequel un corps pesant parti de A, sans vitesse initiale, arrivera au plan BC, dans le temps le plus court (fig. 2 5).

Si l’on imagine une sphère passant par A , qui ait son centre O sur la verticale AB et qui soit tangente au plan BC, la droite AP cherchée joindra le point donné A au point de contact P ; car toute autre droite AQ , excédant la (x>rde correspondante AM, exigera plus de temps pour son parcours.

On voit aisément que la droite cherchée AP divise en deux parties égales l’angle BAD de la verticale AB et de la normale AD au plan.

231. Si , outre son poids p, le mobile appuyé sur un plan incliné est sollicité par une force Q dirigée dans un plan vertical perpendiculaire au plan incliné {fig. 26), la résultante des forces p, Q et de la réaction du plan étant parallèle à ce plan suivant lequel le mouvement a lieu, la valeur de cette force, prise positivement dans le sens de la descente, est (204)

F = /? sin a — Q cos p.

TiOrsque Q est parallèle au plan, on a F=/i sin a + Q ;

Si Q est horizontale, F=/> sin a±Q cosa.

S’il n’y a pas de vite.sse initiale, le corps dt^scend nu monte

selon que la force F ainsi calculée est positive on négative. Il y a équilibre si elle est nulle {*).

§ 6. Force centripète dans le mouvement circulaire et en général dans le mouvement curviligne.

232. Mouvement circulaire. Si un point matériel décrit, d'iin mouvement uniforme ou varié, une circonférence ou seulement un arc de cercle, on en conclut, quelles que soient les circonstances de ce mouvement circulaire ;

1® Que le point dont il s'agit est continuellement sollicité par une ou plusieurs forces indépendamment de celles qui ont agi antérieurement pour produire sa vitesse actuelle, sans quoi il se mouvrait en ligne droite (128);

2° Que leur résultante est dans le plan du cercle (208).

SI à un instant quelconque on décompose cette résultante en deux forces, l’une tangentielle 'l' , l’autre normale x» la première est égale au produit de l’accélération qui a lieu à l’instant considéré multipliée par la niasse du mobile, comme si

le mouvement était rectiligne (220). Ainsi , i/ z=. m~ \ et

la force normale x agit dans le sens allant de la circonférence au centre (ao8), ce qui lui a fait donner le nom de force centripète.

233. PaoBtEMB. Déterminer l’intensité ^ de la force centripète en fonction de la masse m du mobile, de sa vitesse V et du rayon r de l’arc de cercle décrit.

Supposons qu’à l’instant considéré le point matériel soit en M ( /g'. 2y), qu’après un-petit temps 0 il soit en M' ; et appliquons à la projection mobile de ce point sur le rayon MO, le théorème du n“ 209. Cette projection décrira pendant le temps 0 l’espace MP avec un mouvement "dont la vitesse

(*) Nous verrons que les solutions indiquées aux n"‘ aa8 à a3i ne sont pas applicables à la pratique, à cause du frottement, et qu’elles ne conviennent pas même, comme on pourrait le croire, au cas d’une petite splière homogène roulant sur un plan incliné.

FORCE centripè;tf,.

initiale sera nulle, puisque, à l’instaut du passage du mobile au point M, la vitesse v est perpendiculaire à l’axe MO. A ce même instant initial, la projection de la force sur MO est cette force elle-même, tandis que la projection de ij/ est nulle.

Pendant tout le parcours depuis M jusqu’au point trèsvoisin M', l’intensité de la force normale variera très-peu , et sa projection sur MO différera aussi peu qu'on voudra de pourvu qu’on prenne l'arc MM' assez petit. En même temps, la projection de la force tangentielle ij; sur MO différera aussi peu qu'on voudra de zéro. Donc , sauf une erreur relative qu’on rendra aussi petite qu’on voudra en faisant décroître MM', on peut supposer MP égal à l'espace qui serait décrit par un mobile ayant la masse m, et constamment sollicité par la force Par conséquent, en désignant le segment MP par x, on peut poser l’équation

Nous venons de dire que l'on commet ainsi une très-petite erreur relative, ce qui signifie que la quantité qui manque au , second membre est non-seulement très-petite par rapport à l’unité de longueur, mais une fraction très-petite de la valeur

écrite - ^ 9 * ou de x. De là résulte une consétiuence irèsa rn ‘

importante : c’est que l'équation [6y], à la rigueur inexacte ou incomplète, tant que a: et 6 représentent des quantités finies ou réellement existantes, devient rigoureusement exacte ,

si l’on comprend que le rapport ^ des quantités très-petites

qui figurent dans les deux membres, doit être remplacé par la limite dont il s’approche z’/it/é/trti/ncwf, c'est-à-dire autant qu’on veut, à mesure que x et 6* décroissent simultanément. C’est ce qu’on exprime d'uue manière abrégée en disant que l'équation [67] devient tout à fait exacte lorsque x et 6 sont infiniment petits.

Soit s le petit arc MM' ; ^ est la vitesse moyenne dans

144 StCT. II. CHAH. II. S 6.

l’étendue de cet arc; et à mesure que celui-ci diminue on a , avec une erreur qui disparaît à la limite, - = V, d’ou , pour être substitué dans [67],

Enfin , à mesure que l’arc s diminue et approche de se confondre avec sa corde, on a, aussi exactement qu’on veut, la relation

i’ = arx. [69]

En éliminant x, 6, et s, ce qui se fait en multipliant entre elles les équations [67], [68], [69], on obtient

d’où

mv'

résultat dégagé de toute quantité décroissante, et par conséquent rigoureusement exact, puisque, s’il contenait une erreur, on serait libre de l’atténuer en faisant décroître les variables 6, X, s, qui n’y entrent pas, sans changer les constantes m, -w*, r; ce qui serait absurde.

La formule [70] est l’expression cherchée de la force centripète.

234 . Lorsque la force tangentielle est nulle, la vitesse est constante, et réciproquement (a 1 1 et i a8) ; dans ce cas, la force centripète est aussi constante.