I -f- tang’a

224. Si l’on veut déterminer par le calcul le point d’intersection de la trajectoire et d’une autre ligne, droite ou courbe, donnée dans son plan, il suffit de combiner l’équation [64] avec celle de la ligne donnée, en considérant x ut y comme les coordonnées du point de rencontre.

Si l’on cherchait l’amplitude du jet AN {fig. aa), sur une ligne AB inclinée à l’horizon, on pourrait procéder directement en prenant cette droite pour axe des abscisses a; , et conservant l’axe des y vertical. Dans ce système de coordonnées obliques, en représentant par et les deux

138 SF.CT. II, CHAI*. II. § !y.

projections conjuguées de la vitesse initiale V, on aurait (309) les équations

X=Y,, jr = Y^—'-gt?, d’où 7 =^»— et en faisant 7=0, on trouverait l’amplitude suivant AB, X = AN = - V,V, .

- Supposons maintenant qu'on donne la direction AB, ainsi que la vitesse V, et qu'on demande quelle doit être la direction de V dans l'angle donné 7AB, pour que l'amplitude AN soit un maximum. En désignant par ^ et p' les angles inconnus XAB, XA7 dont la somme est donnée, on aura {Gèom. anal., 65 ) >

sin(p-4-p')

et

siii P

sin (P P')

On en conclura que le maximum de AN répond à celui de sin P sin p', et, par conséquent {Géom. anal., aSp), à p = p'; c’est-à-dire que la direction de la vitesse initiale doit partager l’angle 7AB en deux parties égales, comme dans le cas particulier où AB est horizontale (aai).

§ 5 . Moiu'cmant (F un point sur un plan donné sans frottement.

225 . Les principes établis jusqu’ici conduisent à trouver le mouvement d’un point soumis à des forces données quand 011 connaît son mouvement initial. Il s’agit maintenant d'étudier le mouvement d’un point lorsqu’on ne connaît à priori qu’une partie des forces qui le sollicitent, le manque de données à l’égard des forces étant compensé par les conditions auxquelles est assujetti le mouvement cherché.

Si un point se meut sur une surface déterminée , il peut arriver, dans un cas très-particulier, que cette surface contienne la courbe que le point décrirait en vertu de sa vitesse initiale et des forces qui le sollicitent, indépendamment de l’existence de la surface. Alors celle-ci ne change rien au mouvement.

Mais si le point reste sur une surface en y décrivant une

MOU VOIENT d’un POINT SUR UN PLAN DONNÉ. 139

ligne différente de celle qu’il suivrait en vertu des forces indépendantes de la surface, c’est qu’alors la surface, ou plutôt le corps que celte surface termine, exerce sur le point une certaine force qui s’appelle la résistance ou la réaction de la surface , et qui , se composant avec les autres , produit le mouvement effectif.

226. Lorsque , par exemple, la surface sur laquelle glisse un point matériel est plane, si la résultante R des forces F, F', F",... indépendantes de ce plan (telles que le poids du mobile, l’ac* tion d’un moteur, etc.), qui le sollicitent , a sa direction hors de cette surface , il faut en conclure que la réaction R, du plan est telle que, se composant avec cette résultante partielle R , elle donne une résultante définitive ç suivant le plan , puisque sans cela le point sortirait de ce plan ( 208 ).

Cette conclusion se présente souvent sous une autre forme : si l’on décompose la résultante partielle R en deux foices, l’une normale N, l’autre tangentielle T, et qu’on en fasse autant de la réaction R, décomposée en réaction normale N, et en réaction tangentielle T,, il faut que les deux forces N et N, soient égales et opposées, ou, comme on dit, se détruisent , pour que la résultante définitive (p soit dans le plan.

Mais cette égalité de la composante normale de la résultante des forces indépendantes d’une part, et de la réaction normale d’autre part, n’a pas lieu quand la surface est courbe et que le point a une vitesse acquise; car alors la résultante totale ç n’est pas dans le plan tangent, puisque le mouvement est curviligne hors de ce plan.

227. Dans tous les traités de mécanique rationnelle, on suppose l’existence de surfaces parfaitement invariables de forme et parfaitement polies , n’opposant aux corps qui les pressent qu’une résistance ou réaction normale, de sorte que la réaction tangentielle serait nulle.

Les choses ne se passent pas ainsi dans la nature, et pour se représenter l’action d’une surface fixe sur laquelle se meut un corps, il faut, eu outre de la réaction normale, appliquer au mobile une force appelée frottement, dirigée en sens contraire du mouvement, langentiellement à la surface.

Les questions suivantes, dans lesquelles on fait abstraction du frottement, ne doivent donc être considérées que comme des exercices. Elles seront reprises plus tard en ayant égard au frottement.

228. Mouvement d’un point matériel pesant sur un plan incliné sans frottement.

Le corps est effectivement sollicité par deux forces, l’une verticale, qui est son poids p, l'autre N, , réaction normale du plan. Leur résultante est dans le plan incliné ; elle est aussi dans le plan de ses deux composantes , qui est à la fois vertical et perpendiculaire au plan incliné ; d’où il suit qu’elle est dirigée suivant la ligne de plus grande pente. Son intensité 9

est (ao3) P sin i ou ^ \fiS‘ O" obtient le même résultat, mais avec moins de netteté dans les idées et d'exactitude dans le langage, en disant que le poids p, force verticale, étant décomposée en deux , l’une perpendiculaire au plan , l'autre parallèle, la première de ces composantes est détruite par la résistance du plan, et la seconde est la force effective.

Si le corps est parti du repos, les équations du mouvement deviennent

dv . . i . . . .

dt m ° ’ a ° ® ’

r>* = agx sin i .

En supposant que le corps ait parcouru la longueur l, et soit descendu de la hauteur h , on peut demander la vitesse acquise et le temps de la descente.

1 " Pour la vitesse, on a (4' équation ci-dessus)

V = 1 / 3gl sin i = 1 / 2 gh ,

ce qu’on trouverait immédiatement par la considération du travail de la force p, attendu que le travail de la résistance du plan est nul, cette force étant supposée perpendiculaire au chemin décrit.

2 “ Le temps de la descente , d’après la 2 ' équation ci-dessiis, est

V g siii i V ÿ/i y git

MUUVF.MKIST o'ilîN POINT SU» UN PLAN DONNÉ. 141

Ainsi, (leux mobiles partant sans vitesse initiale d’un même point, et suivant deux plans inclinés quelconques, arrivent au même plan horizontal avec des vitesses égales, mais dans des temps inégaux, proportionnels aux longueurs parcourues.